太原理工大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，记 $\displaystyle C(A)=\left\{B \in \mathbb{C}^{n \times n} \mid A B=B A\right\}$ ．
（1）证明：$\displaystyle C(A)$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 的子空间．
（2）若 $A$ 为单位矩阵，求 $\displaystyle C(A)$ ．
（3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基和维数．
（4）若将（3）中 $\displaystyle C(A)$ 看作 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基和维数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明C(A)是子空间
验证$C(A)$对加法和数乘封闭且包含零矩阵。
- 零矩阵：$0\cdot A = A\cdot 0 = 0$，故$0\in C(A)$。
- 加法封闭：若$B_1,B_2\in C(A)$，则$A(B_1+B_2)=AB_1+AB_2=B_1A+B_2A=(B_1+B_2)A$，故$B_1+B_2\in C(A)$。
- 数乘封闭：若$B\in C(A)$，$k\in\mathbb{C}$，则$A(kB)=k(AB)=k(BA)=(kB)A$，故$kB\in C(A)$。
提示：注意验证封闭性时需同时使用交换条件。
步骤 2/5
目标：求A为单位矩阵时的C(A)
当$A=I$时，$C(I)=\{B\in\mathbb{C}^{n\times n}\mid IB=BI\}=\{B\in\mathbb{C}^{n\times n}\mid B=B\}=\mathbb{C}^{n\times n}$。
提示：单位矩阵与所有矩阵可交换。
步骤 3/5
目标：求给定A的C(A)的矩阵形式
设$B=(b_{ij})_{3\times3}$，计算$AB$和$BA$：
$AB=\begin{pmatrix}2b_{11}&2b_{12}&2b_{13}\\2b_{21}&2b_{22}&2b_{23}\\3b_{31}&3b_{32}&3b_{33}\end{pmatrix}$，
$BA=\begin{pmatrix}2b_{11}&2b_{12}&3b_{13}\\2b_{21}&2b_{22}&3b_{23}\\2b_{31}&2b_{32}&3b_{33}\end{pmatrix}$。
由$AB=BA$得：
$2b_{13}=3b_{13}\Rightarrow b_{13}=0$，
$2b_{23}=3b_{23}\Rightarrow b_{23}=0$，
$3b_{31}=2b_{31}\Rightarrow b_{31}=0$，
$3b_{32}=2b_{32}\Rightarrow b_{32}=0$，
其余元素自由。故$B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&0\\b_{21}&b_{22}&0\\0&0&b_{33}\end{pmatrix}$，$b_{ij}\in\mathbb{C}$。
提示：注意比较矩阵对应元素时，非对角元可能产生约束。
步骤 4/5
目标：求C(A)在复数域上的基和维数
由$B$的形式，自由变量为$b_{11},b_{12},b_{21},b_{22},b_{33}$共5个，故维数为5。一组基可取为：
$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，
$E_{12}=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，
$E_{21}=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，
$E_{22}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，
$E_{33}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
提示：基矩阵需线性无关且张成整个空间。
步骤 5/5
目标：求C(A)在实数域上的基和维数
将$C(A)$视为实数域上的线性空间，每个复数自由变量对应两个实自由变量（实部和虚部）。原复数域上维数为5，故实数域上维数为$2\times5=10$。一组基可取为原基中的5个实矩阵，以及每个实矩阵乘以$i$得到的5个矩阵：
$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}i&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，
$\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}0&i&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，
$\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}0&0&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，
$\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}0&0&0\\0&i&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，
$\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&i\end{pmatrix}$。
提示：实数域上基的个数是复数域上维数的两倍，注意每个复变量分解为实部和虚部。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。