太原理工大学 2026年高等代数第7题

设基 $\varepsilon=\{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\}$ 到基 $\eta=\{\eta_1,\eta_2,\eta_3\}$ 的过渡矩阵为 $P$，即 $\eta_j = \sum_{i=1}^3 p_{ij}\varepsilon_i$。将 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 表示为 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 的线性组合： - 对于 $\eta_1=(1,2,-3)$，设 $\eta_1 = a\varepsilon_1 + b\varepsilon_2 + c\varepsilon_3$，则 $(1,2,-3) = (a-2b, b, c)$，解得 $b=2, c=-3, a=5$，故 $\eta_1 = 5\varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 -3\varepsilon_3$。 - 对于 $\eta_2=(2,2,-1)$，设 $\eta_2 = a\varepsilon_1 + b\varepsilon_2 + c\varepsilon_3$，则 $(2,2,-1) = (a-2b, b, c)$，解得 $b=2, c=-1, a=6$，故 $\eta_2 = 6\varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 - \varepsilon_3$。 - 对于 $\eta_3=(2,-1,-1)$，设 $\eta_3 = a\varepsilon_1 + b\varepsilon_2 + c\varepsilon_3$，则 $(2,-1,-1) = (a-2b, b, c)$，解得 $b=-1, c=-1, a=0$，故 $\eta_3 = 0\varepsilon_1 - \varepsilon_2 - \varepsilon_3$。 因此过渡矩阵 $P = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \\ -3 & -1 & -1 \end{pmatrix}$。

由定义，$\mathscr{T}\varepsilon_i = \eta_i$，且$\eta_i$在$\varepsilon$下的坐标即为$\mathscr{T}$在$\varepsilon$下的矩阵$A$的第$i$列。由(1)知$\eta_1,\eta_2,\eta_3$在$\varepsilon$下的坐标分别为$(5,2,-3)^T, (6,2,-1)^T, (0,-1,-1)^T$，所以 $$A = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \\ -3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$

设$\mathscr{T}$在基$\eta$下的矩阵为$B$，则$B = P^{-1} A P$，其中$P$是从$\varepsilon$到$\eta$的过渡矩阵。由于$A = P$，所以$B = P^{-1} P P = P$。因此$B = P$。 验证：$\mathscr{T}\eta_j = \mathscr{T}(\sum_i p_{ij}\varepsilon_i) = \sum_i p_{ij} \mathscr{T}\varepsilon_i = \sum_i p_{ij} \eta_i$，所以$\mathscr{T}\eta_j$在$\eta$下的坐标就是$P$的第$j$列，即$B = P$。

即判断$\lambda=1$是否为$\mathscr{T}$的特征值。$\mathscr{T}$在$\varepsilon$下的矩阵为$A$，计算$\det(A - I)$： $$A - I = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}.$$ 计算行列式： $$\det(A-I) = 4\begin{vmatrix}1 & -1 \\ -1 & -2\end{vmatrix} - 6\begin{vmatrix}2 & -1 \\ -3 & -2\end{vmatrix} + 0 = 4((-2)-1) - 6((-4)-3) = 4(-3) - 6(-7) = -12 + 42 = 30 \neq 0.$$ 所以$\lambda=1$不是特征值，因此不存在非零向量$\xi$使得$\mathscr{T}\xi = \xi$。