太原理工大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．已知齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}-x_{5}=0 \\
-3 x_{1}+9 x_{2}-3 x_{3}+6 x_{4}+4 x_{5}=0 \\
2 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}-2 x_{5}=0
\end{array}\right.
$$
向量组
$$
\alpha_{1}=(4,1,1,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(8,2,4,3,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(4,7,5,3,0)^{\mathrm{T}} .
$$
（1）求该方程组的一个基础解系．
（2）判断该方程组的解是否都可以由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出．
（3）求该方程组的一个基础解系使得其尽可能多的含 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简系数矩阵
写出系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 & -1 \\ -3 & 9 & -3 & 6 & 4 \\ 2 & -6 & 2 & -4 & -2 \end{pmatrix}$，进行初等行变换：第2行加第1行的3倍得 $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & -6 & 2 & -4 & -2 \end{pmatrix}$，第3行减第1行的2倍得 $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，第1行加第2行得 $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意行变换的正确性，避免计算错误。
步骤 2/7
目标：确定自由变量并写出通解
矩阵秩为2，自由变量为 $x_2, x_3, x_4$。令 $x_2 = c_1, x_3 = c_2, x_4 = c_3$，由第1行得 $x_1 = 3c_1 - c_2 + 2c_3$，由第2行得 $x_5 = 0$。通解为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。
提示：自由变量取法不唯一，但基础解系需线性无关。
步骤 3/7
目标：写出基础解系
基础解系为 $\xi_1 = (3,1,0,0,0)^T, \xi_2 = (-1,0,1,0,0)^T, \xi_3 = (2,0,0,1,0)^T$。
提示：基础解系中每个向量都是解，且线性无关。
步骤 4/7
目标：验证向量组是否为解
代入 $\alpha_1 = (4,1,1,1,0)^T$：$4-3+1-2-0=0$，是解。$\alpha_2 = (8,2,4,3,0)^T$：$8-6+4-6-0=0$，是解。$\alpha_3 = (4,7,5,3,0)^T$：$4-21+5-6-0=-18 \neq 0$，不是解。
提示：验证解时需代入每个方程，确保所有方程成立。
步骤 5/7
目标：判断线性表出可能性
由于 $\alpha_3$ 不是解，它不能表示解空间中的向量。解空间是3维，$\alpha_1, \alpha_2$ 是解且线性无关，张成2维子空间，但无法表示所有解（如 $\xi_1$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2$ 表出）。因此方程组的解不能全部由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出。
提示：注意：线性表出要求向量本身是解，否则无法表示解空间中的向量。
步骤 6/7
目标：寻找包含尽可能多给定向量的基础解系
由于 $\alpha_3$ 不是解，最多包含 $\alpha_1, \alpha_2$。它们线性无关，需要再找一个解向量与它们线性无关。取 $\xi_1 = (3,1,0,0,0)^T$，验证其不能由 $\alpha_1, \alpha_2$ 表出（解方程组 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=\xi_1$ 无解），故 $\alpha_1, \alpha_2, \xi_1$ 线性无关，构成基础解系。
提示：确保新取的向量是解且与已有向量线性无关。
步骤 7/7
目标：写出最终基础解系
基础解系为 $\alpha_1 = (4,1,1,1,0)^T, \alpha_2 = (8,2,4,3,0)^T, \xi_1 = (3,1,0,0,0)^T$。
提示：基础解系不唯一，但需满足线性无关且能生成解空间。
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