太原理工大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $V$ 为有限维欧氏空间，线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 满足 $\displaystyle (\mathscr{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \mathscr{A} \beta), \forall \alpha, \beta \in V$ ．证明：
（1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基下的矩阵为对称矩阵。
（2）存在 $V$ 的一组基使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在该基下的矩阵是对角矩阵。
（3）$\displaystyle (\mathscr{A}(V))^{\perp}=\mathscr{A}^{-1}(0)$ ，且 $\displaystyle V=\mathscr{A}(V) \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明(1)：对称矩阵
设 $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组标准正交基，$\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵为 $A=(a_{ij})$，即 $\mathscr{A}\varepsilon_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}\varepsilon_i$。由于 $(\mathscr{A}\varepsilon_j,\varepsilon_i)=a_{ij}$，且 $(\varepsilon_j,\mathscr{A}\varepsilon_i)=a_{ji}$，由条件 $(\mathscr{A}\varepsilon_j,\varepsilon_i)=(\varepsilon_j,\mathscr{A}\varepsilon_i)$ 得 $a_{ij}=a_{ji}$，故 $A$ 为对称矩阵。
公式：$(\mathscr{A}\varepsilon_j,\varepsilon_i)=a_{ij}$，$(\varepsilon_j,\mathscr{A}\varepsilon_i)=a_{ji}$
提示：注意标准正交基下内积与坐标的关系：$(\mathscr{A}\varepsilon_j,\varepsilon_i)$ 等于矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
步骤 2/5
目标：证明(2)：存在正交基使矩阵对角化
由(1)知 $\mathscr{A}$ 在标准正交基下的矩阵 $A$ 是对称矩阵。实对称矩阵可正交对角化，即存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda$ 为对角矩阵。取 $\eta_1,\dots,\eta_n$ 为 $Q$ 的列向量对应的基（即 $\eta_i = \sum_{j=1}^n q_{ji}\varepsilon_j$），则 $\eta_1,\dots,\eta_n$ 是标准正交基，且 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵为 $\Lambda$，即为对角矩阵。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：正交对角化要求基是标准正交的，注意 $Q$ 是正交矩阵。
步骤 3/5
目标：证明(3)第一部分：$\mathscr{A}^{-1}(0) \subseteq (\mathscr{A}(V))^\perp$
设 $\alpha \in \mathscr{A}^{-1}(0)$，则 $\mathscr{A}\alpha = 0$。对任意 $\beta \in V$，有 $(\mathscr{A}\beta, \alpha) = (\beta, \mathscr{A}\alpha) = (\beta, 0) = 0$，故 $\alpha \perp \mathscr{A}(V)$，即 $\alpha \in (\mathscr{A}(V))^\perp$。
公式：$(\mathscr{A}\beta, \alpha) = (\beta, \mathscr{A}\alpha)$
提示：利用条件将内积中的 $\mathscr{A}$ 从左边移到右边。
步骤 4/5
目标：证明(3)第二部分：$(\mathscr{A}(V))^\perp \subseteq \mathscr{A}^{-1}(0)$
设 $\alpha \in (\mathscr{A}(V))^\perp$，则对任意 $\beta \in V$，有 $(\mathscr{A}\beta, \alpha) = 0$。特别地，取 $\beta = \mathscr{A}\alpha$，得 $(\mathscr{A}\mathscr{A}\alpha, \alpha) = 0$。由条件，$(\mathscr{A}\mathscr{A}\alpha, \alpha) = (\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\alpha) = \|\mathscr{A}\alpha\|^2 = 0$，故 $\mathscr{A}\alpha = 0$，即 $\alpha \in \mathscr{A}^{-1}(0)$。
公式：$(\mathscr{A}\mathscr{A}\alpha, \alpha) = (\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\alpha)$
提示：关键步骤：取 $\beta = \mathscr{A}\alpha$ 并利用条件将 $\mathscr{A}$ 移到右边。
步骤 5/5
目标：证明(3)第三部分：直和分解
由前两部分得 $(\mathscr{A}(V))^\perp = \mathscr{A}^{-1}(0)$。由于 $V$ 是有限维欧氏空间，对任意子空间 $W$，有 $V = W \oplus W^\perp$。取 $W = \mathscr{A}(V)$，则 $V = \mathscr{A}(V) \oplus (\mathscr{A}(V))^\perp = \mathscr{A}(V) \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$。
公式：$V = W \oplus W^\perp$
提示：注意直和分解要求子空间正交，这里 $\mathscr{A}(V)$ 与 $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 正交已由前两步保证。
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