安徽师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
一，（15 分）设非零的复系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式，证明：
$\displaystyle \left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x)\right)=1$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设最大公因式并推导整除关系
设 $d(x) = (f(x) + f'(x), f(x))$，则 $d(x) \mid f(x)$ 且 $d(x) \mid (f(x) + f'(x))$。
提示：注意最大公因式的定义：$d(x)$ 是 $f(x)+f'(x)$ 和 $f(x)$ 的最大公因式，因此它整除两者。
步骤 2/6
目标：推导 $d(x)$ 整除 $f'(x)$
由 $d(x) \mid f(x)$ 和 $d(x) \mid (f(x) + f'(x))$，考虑 $f'(x) = (f(x) + f'(x)) - f(x)$，因此 $d(x) \mid f'(x)$。
公式：f'(x) = (f(x) + f'(x)) - f(x)
提示：注意整除的线性组合性质：若 $d \mid a$ 且 $d \mid b$，则 $d \mid (a-b)$。
步骤 3/6
目标：得出 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 的公因式
由 $d(x) \mid f(x)$ 和 $d(x) \mid f'(x)$，可知 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 的一个公因式。
提示：公因式的定义：同时整除两个多项式的多项式。
步骤 4/6
目标：利用无重因式条件
由于 $f(x)$ 没有重因式，根据定理，$f(x)$ 与 $f'(x)$ 互素，即 $(f(x), f'(x)) = 1$。
提示：无重因式等价于 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 互素，这是多项式理论中的重要结论。
步骤 5/6
目标：推出 $d(x)$ 是常数多项式
因为 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 的公因式，而 $(f(x), f'(x)) = 1$，所以 $d(x)$ 只能是常数多项式（即零次多项式）。
提示：最大公因式为1意味着任何公因式都是常数。
步骤 6/6
目标：归一化并得出结论
由于 $f(x)$ 非零，$d(x)$ 的首项系数可归一化为1，因此 $(f(x) + f'(x), f(x)) = 1$。
提示：最大公因式通常取首一多项式，常数多项式归一化后为1。
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