📝 安徽师范大学 2013年高等代数真题

一，（15 分）设非零的复系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式，证明：
$\displaystyle \left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x)\right)=1$.

七，（20 分）设三级方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 0\end{array}\right)$
试求（1）A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ ；
（2）试问 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 是否是实数域上不可约多项式？为什么？

三，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，计算 $\displaystyle n+1$ 阶行列式．

$$
a_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} & 0 \\
-1 & 0 & \cdots & 0 & b_{1} \\
0 & -1 & \cdots & 0 & b_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & -1 & b_{n}
\end{array}\right| .
$$

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $n$ 维欧式空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数。证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有一非零向量与 $\displaystyle V_{1}$ 中任一向量正交．

二，（20 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是方程 $\displaystyle x^{3}-2 x^{2}+7 x+1=0$ 的三个根，计算 $\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}-2 x_{1} x_{2} x_{3}$ 的值．

五，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 级方阵，证明：线性方程组 $\displaystyle A B x=0$与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件是秩 $\displaystyle (A B)=$ 秩 $\displaystyle (B)$ ．

八，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$T$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换， $\displaystyle T^{-1}(0)=\{\xi \in V \mid T \xi=0\}$ 是 $T$ 的核，$\displaystyle T(V)=\{T \xi \mid \xi \in V\}$ 是 $T$ 的值域。证明 $\displaystyle T(V) \subseteq T^{-1}(0)$的充分必要条件是 $\displaystyle T^{2}$ 是零变换．

六，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换．
证明（1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的两个不同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的分别属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$的特征向量，则 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}$ 不是 $\displaystyle \sigma$ 的特征向量．
（2）如果线性变换 $\displaystyle \sigma$ 以 $V$ 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 $\displaystyle \sigma$ 是数乘变换

四，（20 分）设 $a$ 是一个 $n$ 维非零的列向量，$\displaystyle a^{T}$ 是 $A$ 的转置，$E$ 是 $n$ 级单位矩阵， $\displaystyle A=E-a a^{T}$.
（1）证明：$\displaystyle A^{2}=A$ 当且仅当 $\displaystyle a a^{T}=1$ ；
（2）当 $\displaystyle a a^{T}=1$ 时；方阵 $A$ 的行列式等于零．