安徽师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
二，（20 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是方程 $\displaystyle x^{3}-2 x^{2}+7 x+1=0$ 的三个根，计算 $\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}-2 x_{1} x_{2} x_{3}$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：列出韦达定理
设 $x_1, x_2, x_3$ 是方程 $x^3 - 2x^2 + 7x + 1 = 0$ 的三个根。由韦达定理，对于三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$，有 $x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = \frac{c}{a}$，$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$。代入 $a=1, b=-2, c=7, d=1$ 得：
公式：韦达定理
提示：注意符号：$x_1x_2x_3 = -d/a$，这里 $d=1$，所以 $x_1x_2x_3 = -1$。
步骤 2/6
目标：写出已知条件
因此得到：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 2, \\
x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 7, \\
x_1x_2x_3 = -1.
\end{cases}
\]
提示：确认每个值正确无误。
步骤 3/6
目标：回忆立方和公式
我们需要计算 $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 - 2x_1x_2x_3$。首先计算 $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3$。利用恒等式：
\[
x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1 + x_2 + x_3)^3 - 3(x_1 + x_2 + x_3)(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) + 3x_1x_2x_3.
\]
公式：$a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3 - 3(a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc$
提示：这个公式容易记错，注意最后一项是 $+3abc$，不是 $-3abc$。
步骤 4/6
目标：代入数值计算立方和
代入已知值：
\[
x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 2^3 - 3 \cdot 2 \cdot 7 + 3 \cdot (-1) = 8 - 42 - 3 = -37.
\]
提示：计算时注意符号：$3 \cdot (-1) = -3$，不要漏掉负号。
步骤 5/6
目标：计算最终表达式
现在计算 $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 - 2x_1x_2x_3$：
\[
-37 - 2 \cdot (-1) = -37 + 2 = -35.
\]
提示：注意 $2x_1x_2x_3$ 中 $x_1x_2x_3 = -1$，所以 $-2 \times (-1) = +2$。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，所求值为 $-35$。
提示：最终答案要写清楚。
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