安徽师范大学 2013年高等代数第0题

特征多项式定义为 $f(\lambda) = \det(\lambda I - A)$，其中 $I$ 是3阶单位矩阵。代入矩阵 $A$ 得： $$\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-1 & -1 & 0 \\ 1 & \lambda & -1 \\ 3 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$$

按第一行展开行列式： $$\begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & 0 \\ 1 & \lambda & -1 \\ 3 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & \lambda \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 3 & 0 \end{vmatrix}$$

计算两个二阶行列式： $$\begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda \cdot \lambda - (-1) \cdot 0 = \lambda^2$$ $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1 \cdot \lambda - (-1) \cdot 3 = \lambda + 3$$

代入结果： $$(\lambda-1)\lambda^2 + (\lambda+3) = \lambda^3 - \lambda^2 + \lambda + 3$$ 所以 $f(\lambda) = \lambda^3 - \lambda^2 + \lambda + 3$。

由于 $f(\lambda)$ 是三次多项式，若在实数域上不可约，则必须没有实根。先尝试有理根：可能的有理根为 $\pm1, \pm3$。计算： $$f(1)=1-1+1+3=4 \neq 0$$ $$f(-1)=-1-1-1+3=0$$ 所以 $\lambda=-1$ 是一个根，因此 $f(\lambda)$ 可约。

用多项式除法或因式分解得： $$f(\lambda) = (\lambda+1)(\lambda^2 - 2\lambda + 3)$$ 二次因子判别式 $\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot 3 = 4-12 = -8 < 0$，无实根，因此在实数域上二次因子不可约。但原多项式有实根 $\lambda=-1$，所以 $f(\lambda)$ 在实数域上可约。

因为 $f(\lambda)$ 有实根 $-1$，所以可分解为 $\lambda+1$ 与二次因式的乘积，故 $f(\lambda)$ 在实数域上可约，不是不可约多项式。