安徽师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
五，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 级方阵，证明：线性方程组 $\displaystyle A B x=0$与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件是秩 $\displaystyle (A B)=$ 秩 $\displaystyle (B)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入解空间
设线性方程组 $ABx=0$ 的解空间为 $V_{AB}$，$Bx=0$ 的解空间为 $V_B$。
提示：注意解空间是齐次线性方程组所有解向量的集合。
步骤 2/6
目标：必要性：由同解推出秩相等
若 $ABx=0$ 与 $Bx=0$ 同解，则 $V_{AB}=V_B$。于是解空间维数相等，即 $\dim V_{AB} = \dim V_B$。由维数公式 $\dim V = n - \operatorname{rank}(A)$，得 $n - \operatorname{rank}(AB) = n - \operatorname{rank}(B)$，故 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B)$。
公式：解空间维数公式：$\dim V = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：注意解空间维数等于 $n$ 减去系数矩阵的秩。
步骤 3/6
目标：充分性：由秩相等推出解空间包含关系
若 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B)$，则 $\dim V_{AB} = n - \operatorname{rank}(AB) = n - \operatorname{rank}(B) = \dim V_B$。
公式：同上
提示：注意维数相等是后续证明的关键。
步骤 4/6
目标：证明解空间包含关系
显然，若 $Bx=0$，则 $ABx = A(Bx) = A0 = 0$，所以 $V_B \subseteq V_{AB}$。
提示：注意矩阵乘法结合律：$ABx = A(Bx)$。
步骤 5/6
目标：由维数相等和包含关系推出解空间相等
由于 $V_B \subseteq V_{AB}$ 且 $\dim V_B = \dim V_{AB}$，所以 $V_B = V_{AB}$，即两方程组同解。
公式：线性子空间性质：若 $W \subseteq V$ 且 $\dim W = \dim V$，则 $W=V$。
提示：注意有限维向量空间中，子空间维数相等且包含则相等。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，线性方程组 $ABx=0$ 与 $Bx=0$ 同解的充分必要条件是 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B)$。
提示：注意秩条件是充要条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。