安徽师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $n$ 维欧式空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数。证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有一非零向量与 $\displaystyle V_{1}$ 中任一向量正交．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定维数
设 $\dim V_1 = r$, $\dim V_2 = s$, 由题设 $r < s$。
提示：注意维数都是非负整数，且 $r < s \leq n$。
步骤 2/5
目标：考虑正交补的维数
考虑 $V_1$ 的正交补 $V_1^\perp = \{ \alpha \in V \mid \alpha \perp V_1 \}$。由于 $V$ 是 $n$ 维欧式空间，$V_1^\perp$ 的维数为 $n - r$。
公式：$\dim V_1^\perp = n - \dim V_1 = n - r$
提示：正交补的维数公式成立的前提是 $V$ 是有限维内积空间。
步骤 3/5
目标：分析子空间交的维数
考虑 $V_2$ 与 $V_1^\perp$ 的交集 $V_2 \cap V_1^\perp$。由维数公式：$\dim(V_2 \cap V_1^\perp) = \dim V_2 + \dim V_1^\perp - \dim(V_2 + V_1^\perp)$。由于 $V_2 + V_1^\perp \subseteq V$，有 $\dim(V_2 + V_1^\perp) \leq n$。因此 $\dim(V_2 \cap V_1^\perp) \geq s + (n - r) - n = s - r > 0$。
公式：$\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U+W)$
提示：注意 $\dim(V_2 + V_1^\perp) \leq n$，等号成立当且仅当 $V_2 + V_1^\perp = V$。
步骤 4/5
目标：得出交集非零
由 $s > r$ 得 $s - r > 0$，故 $\dim(V_2 \cap V_1^\perp) \geq 1$，即 $V_2 \cap V_1^\perp$ 包含非零向量。
提示：维数大于等于1意味着存在非零向量。
步骤 5/5
目标：选取向量并验证
取非零向量 $\alpha \in V_2 \cap V_1^\perp$。则 $\alpha \in V_2$，且 $\alpha \perp V_1$，即 $\alpha$ 与 $V_1$ 中任一向量正交。
提示：注意 $\alpha$ 非零，且属于两个子空间的交。
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