安徽师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
六，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换．
证明（1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的两个不同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的分别属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$的特征向量，则 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}$ 不是 $\displaystyle \sigma$ 的特征向量．
（2）如果线性变换 $\displaystyle \sigma$ 以 $V$ 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 $\displaystyle \sigma$ 是数乘变换
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：假设反证法引入
假设 $\alpha_1 + \alpha_2$ 是 $\sigma$ 的特征向量，则存在特征值 $\mu$ 使得 $\sigma(\alpha_1 + \alpha_2) = \mu(\alpha_1 + \alpha_2)$。
公式：$\sigma(\alpha_1 + \alpha_2) = \mu(\alpha_1 + \alpha_2)$
提示：注意特征向量的定义：非零向量且满足线性变换等于数乘。
步骤 2/8
目标：利用线性性展开
由 $\sigma$ 的线性性，$\sigma(\alpha_1 + \alpha_2) = \sigma(\alpha_1) + \sigma(\alpha_2) = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2$。代入假设得 $\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 = \mu \alpha_1 + \mu \alpha_2$。
公式：$\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 = \mu \alpha_1 + \mu \alpha_2$
提示：不要忘记线性变换作用于和等于分别作用再求和。
步骤 3/8
目标：移项并利用线性无关性
移项得 $(\lambda_1 - \mu) \alpha_1 + (\lambda_2 - \mu) \alpha_2 = 0$。由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 属于不同特征值，它们线性无关，因此系数必须为零：$\lambda_1 - \mu = 0$ 且 $\lambda_2 - \mu = 0$。
公式：$(\lambda_1 - \mu) \alpha_1 + (\lambda_2 - \mu) \alpha_2 = 0$
提示：不同特征值对应的特征向量线性无关，这是关键性质。
步骤 4/8
目标：推出矛盾
由 $\lambda_1 - \mu = 0$ 和 $\lambda_2 - \mu = 0$ 得 $\lambda_1 = \mu = \lambda_2$，与 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 矛盾。故假设不成立，$\alpha_1 + \alpha_2$ 不是 $\sigma$ 的特征向量。
提示：矛盾源于特征值不同，因此和向量不是特征向量。
步骤 5/8
目标：证明（2）取基并设特征值
设 $\sigma$ 以每个非零向量为特征向量。取定一组基 $e_1, \dots, e_n$，则对每个 $i$，存在 $\lambda_i$ 使得 $\sigma(e_i) = \lambda_i e_i$。
公式：$\sigma(e_i) = \lambda_i e_i$
提示：基向量是非零向量，所以每个基向量都是特征向量。
步骤 6/8
目标：考虑两个基向量的和
对任意 $i \neq j$，考虑向量 $e_i + e_j$，它是非零向量，故存在 $\mu_{ij}$ 使得 $\sigma(e_i + e_j) = \mu_{ij}(e_i + e_j)$。同时，由线性性，$\sigma(e_i + e_j) = \lambda_i e_i + \lambda_j e_j$。
公式：$\lambda_i e_i + \lambda_j e_j = \mu_{ij} e_i + \mu_{ij} e_j$
提示：注意 $e_i + e_j$ 也是非零向量，所以也是特征向量。
步骤 7/8
目标：利用线性无关性推出特征值相等
由 $e_i, e_j$ 线性无关，比较系数得 $\lambda_i = \mu_{ij}$ 且 $\lambda_j = \mu_{ij}$，因此 $\lambda_i = \lambda_j$。由于 $i,j$ 任意，所有 $\lambda_i$ 相等，记公共值为 $\lambda$。
公式：$\lambda_i = \mu_{ij} = \lambda_j$
提示：线性无关保证系数唯一，从而推出所有特征值相同。
步骤 8/8
目标：结论：σ是数乘变换
对任意 $v \in V$，设 $v = \sum_{i=1}^n a_i e_i$，则 $\sigma(v) = \sum a_i \sigma(e_i) = \sum a_i \lambda e_i = \lambda \sum a_i e_i = \lambda v$。故 $\sigma$ 是数乘变换。
公式：$\sigma(v) = \lambda v$
提示：数乘变换即所有向量乘以同一个常数。
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