安徽师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
八，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$T$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换， $\displaystyle T^{-1}(0)=\{\xi \in V \mid T \xi=0\}$ 是 $T$ 的核，$\displaystyle T(V)=\{T \xi \mid \xi \in V\}$ 是 $T$ 的值域。证明 $\displaystyle T(V) \subseteq T^{-1}(0)$的充分必要条件是 $\displaystyle T^{2}$ 是零变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目条件和目标
题目要求证明线性变换$T$满足$T(V) \subseteq T^{-1}(0)$的充要条件是$T^2$为零变换。其中$T(V)$是值域，$T^{-1}(0)$是核。
提示：注意$T^{-1}(0)$是核，不是逆映射。
步骤 2/4
目标：必要性：假设$T(V) \subseteq T^{-1}(0)$，推导$T^2=0$
对任意$\xi \in V$，$T\xi \in T(V)$。由假设$T(V) \subseteq T^{-1}(0)$，得$T\xi \in T^{-1}(0)$，即$T(T\xi)=0$，所以$T^2\xi=0$。由$\xi$的任意性，$T^2$是零变换。
公式：$T^2\xi = T(T\xi)=0$
提示：注意$T^2$是复合变换，先作用$T$再作用$T$。
步骤 3/4
目标：充分性：假设$T^2=0$，推导$T(V) \subseteq T^{-1}(0)$
对任意$\eta \in T(V)$，存在$\xi \in V$使得$\eta = T\xi$。则$T\eta = T(T\xi)=T^2\xi=0$，故$\eta \in T^{-1}(0)$。因此$T(V) \subseteq T^{-1}(0)$。
公式：$T\eta = T^2\xi = 0$
提示：注意$\eta$是值域中的向量，要找到原像$\xi$。
步骤 4/4
目标：总结充要条件
由必要性（$\Rightarrow$）和充分性（$\Leftarrow$）得，$T(V) \subseteq T^{-1}(0)$当且仅当$T^2$是零变换。
公式：$T(V) \subseteq T^{-1}(0) \iff T^2=0$
提示：充要条件证明需双向推导。
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