安徽师范大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
四，（20 分）设 $a$ 是一个 $n$ 维非零的列向量，$\displaystyle a^{T}$ 是 $A$ 的转置，$E$ 是 $n$ 级单位矩阵， $\displaystyle A=E-a a^{T}$.
（1）证明：$\displaystyle A^{2}=A$ 当且仅当 $\displaystyle a a^{T}=1$ ；
（2）当 $\displaystyle a a^{T}=1$ 时；方阵 $A$ 的行列式等于零．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算A的平方
已知 $A = E - a a^T$，计算 $A^2 = (E - a a^T)(E - a a^T) = E - 2a a^T + a a^T a a^T$。
公式：$A^2 = (E - a a^T)(E - a a^T)$
提示：注意矩阵乘法顺序，$a a^T$ 是 $n \times n$ 矩阵，$a^T a$ 是标量。
步骤 2/6
目标：简化平方表达式
令 $c = a^T a$，则 $a a^T a a^T = a (a^T a) a^T = c a a^T$，所以 $A^2 = E - 2a a^T + c a a^T = E + (c-2) a a^T$。
公式：$a a^T a a^T = (a^T a) a a^T$
提示：注意 $a^T a$ 是标量，可以提到前面。
步骤 3/6
目标：建立等式条件
$A^2 = A$ 等价于 $E + (c-2) a a^T = E - a a^T$，即 $(c-2) a a^T = - a a^T$，整理得 $(c-1) a a^T = 0$。
公式：$(c-1) a a^T = 0$
提示：移项时注意符号。
步骤 4/6
目标：推导必要条件
由于 $a$ 非零，$a a^T$ 是非零矩阵（秩为1），因此 $c-1=0$，即 $a^T a = 1$。
提示：非零列向量 $a$ 保证 $a a^T \neq 0$。
步骤 5/6
目标：验证充分性
若 $a^T a = 1$，则 $c=1$，代入 $A^2 = E + (1-2) a a^T = E - a a^T = A$，故 $A^2 = A$ 成立。
提示：直接代入验证即可。
步骤 6/6
目标：证明行列式为零
当 $a^T a = 1$ 时，由 (1) 知 $A^2 = A$，即 $A$ 是幂等矩阵。计算 $A a = (E - a a^T) a = a - a (a^T a) = a - a = 0$，所以 $0$ 是 $A$ 的特征值，故 $\det(A)=0$。
公式：$A a = 0$
提示：注意 $a$ 是非零向量，因此 $0$ 是特征值。
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