安徽师范大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
一，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle f(x)$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次多项式，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$整除 $\displaystyle f(x)$ ，则存在 $\displaystyle a, b \in P$ ，使得 $\displaystyle f(x)=a(x-b)^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设出多项式关系并比较次数
设 $f(x)$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次多项式，且 $f'(x) \mid f(x)$。则存在多项式 $g(x) \in P[x]$ 使得 $f(x) = f'(x) g(x)$。比较次数：$\deg f = n$，$\deg f' = n-1$，故 $\deg g = 1$。设 $g(x) = ax + b$，其中 $a, b \in P$，$a \neq 0$。于是 $f(x) = f'(x)(ax + b)$。
公式：f(x) = f'(x)(ax + b)
提示：注意 $a \neq 0$，否则 $g(x)$ 次数为0，与 $\deg g = 1$ 矛盾。
步骤 2/7
目标：对等式两边求导并整理
对 $f(x) = f'(x)(ax + b)$ 两边求导得 $f'(x) = f''(x)(ax + b) + a f'(x)$。整理得 $(1 - a) f'(x) = f''(x)(ax + b)$。
公式：(1 - a) f'(x) = f''(x)(ax + b)
提示：求导时注意乘积法则：$(f' \cdot (ax+b))' = f''(ax+b) + f' \cdot a$。
步骤 3/7
目标：反证法证明 $a=1$
若 $a \neq 1$，则 $f'(x) = \frac{1}{1-a} f''(x)(ax + b)$，从而 $f''(x) \mid f'(x)$。重复此过程，可得 $f^{(k)}(x) \mid f^{(k-1)}(x)$ 对 $k=1,\dots,n$ 成立。特别地，$f^{(n)}(x) \mid f^{(n-1)}(x)$。但 $f^{(n)}(x) = n! \cdot \text{首项系数}$ 是非零常数，而 $f^{(n-1)}(x)$ 是一次多项式，常数多项式整除一次多项式意味着一次多项式必须是常数，矛盾。因此 $a = 1$。
提示：注意 $f^{(n)}(x)$ 是常数，而 $f^{(n-1)}(x)$ 是一次多项式，常数整除一次多项式要求一次多项式为常数，矛盾。
步骤 4/7
目标：代入 $a=1$ 并换元
由 $a=1$ 得 $f(x) = f'(x)(x + b)$。令 $c = -b$，则 $f(x) = f'(x)(x - c)$。
公式：f(x) = f'(x)(x - c)
提示：注意符号变换，$c = -b$。
步骤 5/7
目标：设 $f(x)$ 的因式分解形式
设 $f(x) = (x-c)^m h(x)$，其中 $h(c) \neq 0$，$m \geq 1$。则 $f'(x) = m (x-c)^{m-1} h(x) + (x-c)^m h'(x)$。代入 $f(x) = f'(x)(x-c)$ 得 $(x-c)^m h(x) = [m (x-c)^{m-1} h(x) + (x-c)^m h'(x)] (x-c) = m (x-c)^m h(x) + (x-c)^{m+1} h'(x)$。
公式：(x-c)^m h(x) = m (x-c)^m h(x) + (x-c)^{m+1} h'(x)
提示：注意 $h(c) \neq 0$ 表示 $c$ 是 $f(x)$ 的 $m$ 重根。
步骤 6/7
目标：化简并讨论 $m$ 的值
化简得 $(1-m) (x-c)^m h(x) = (x-c)^{m+1} h'(x)$。若 $m \neq 1$，则两边约去 $(x-c)^m$ 得 $(1-m) h(x) = (x-c) h'(x)$。令 $x = c$ 得 $(1-m) h(c) = 0$，但 $h(c) \neq 0$，故 $m=1$，矛盾。因此 $m=1$ 不成立，实际上 $m$ 必须等于 $n$。因为若 $m < n$，则 $h(x)$ 次数大于0，但由 $(1-m) h(x) = (x-c) h'(x)$ 可推出 $h(x)$ 是 $(x-c)$ 的倍数，与 $h(c) \neq 0$ 矛盾。故 $m = n$，从而 $h(x)$ 为常数，设为 $a$，则 $f(x) = a (x-c)^n$。
公式：(1-m) h(x) = (x-c) h'(x)
提示：注意 $m$ 不能等于1，因为若 $m=1$，则 $f(x)$ 只有单根，但由 $f(x)=f'(x)(x-c)$ 可推出 $f(x)$ 有重根，矛盾。实际上 $m=n$。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此存在 $a, c \in P$ 使得 $f(x) = a(x-c)^n$。令 $b = c$，则 $f(x) = a(x-b)^n$。
公式：f(x) = a(x-b)^n
提示：注意 $a$ 是 $f(x)$ 的首项系数，$b$ 是 $n$ 重根。
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