📝 安徽师范大学 2015年高等代数真题
第0题
一，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle f(x)$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次多项式，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$整除 $\displaystyle f(x)$ ，则存在 $\displaystyle a, b \in P$ ，使得 $\displaystyle f(x)=a(x-b)^{n}$ ．
第0题
七，（15 分）设二阶复数矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 4\end{array}\right)$ ，试问矩阵 $A$ 能否与一个对角矩阵相似？为什么？
第0题
三，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，计算 $n$ 级行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}
a_{0} & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
a_{1} & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
a_{2} & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n-2} & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\
a_{n-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & x
\end{array}\right|
$$
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}
a_{0} & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
a_{1} & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
a_{2} & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n-2} & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\
a_{n-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & x
\end{array}\right|
$$
第0题
九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$A$ 是一个 $n$ 级实方阵，满足 $\displaystyle A^{3}+A=0$ ，证明：矩阵 $A$ 的迹是零．
第0题
二，（15 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是方程 $\displaystyle x^{3}-x^{2}-4 x+1=0$ 的三个根，试计算 $\displaystyle x_{1}^{3} x_{2} x_{3}+x_{2}^{3} x_{1} x_{3}+x_{3}^{3} x_{1} x_{2}$ 的值．
第0题
五，（20 分）设 3 级实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & b & 1\end{array}\right)$ ，与矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似，
（1）试求实数 $\displaystyle a, b$ ；
（2）求一正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ．
（1）试求实数 $\displaystyle a, b$ ；
（2）求一正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ．
第0题
八，（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，且 $\displaystyle f(x)=g(x) h(x)$ ， $\displaystyle (g(x), h(x))=1, \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle K, U, W$ 分别是 $V$ 的线性变换 $\displaystyle f(\sigma), g(\sigma), h(\sigma)$ 的核，证明：$\displaystyle K=U \oplus W$ ．
第0题
六，（20 分）设三个向量 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，但其中任意两个都线性无关。证明
（1）若有常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 或者全为零，或者全部为零；
（2）若有两组常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 和 $\displaystyle l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ，使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ 且 $\displaystyle l_{1} \alpha+l_{2} \beta+l_{3} \gamma=0$ ，
其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\frac{k_{3}}{l_{3}}$ ．
（1）若有常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 或者全为零，或者全部为零；
（2）若有两组常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 和 $\displaystyle l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ，使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ 且 $\displaystyle l_{1} \alpha+l_{2} \beta+l_{3} \gamma=0$ ，
其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\frac{k_{3}}{l_{3}}$ ．
第0题
四，（15 分）设 $\displaystyle m, n, r$ 都是正整数，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：存在秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times r$ 矩阵和秩为 $r$ 的 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．