安徽师范大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
二，（15 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是方程 $\displaystyle x^{3}-x^{2}-4 x+1=0$ 的三个根，试计算 $\displaystyle x_{1}^{3} x_{2} x_{3}+x_{2}^{3} x_{1} x_{3}+x_{3}^{3} x_{1} x_{2}$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用韦达定理
设 $x_1, x_2, x_3$ 是方程 $x^3 - x^2 - 4x + 1 = 0$ 的三个根。由韦达定理，有
\[
\begin{aligned}
s_1 &= x_1 + x_2 + x_3 = 1, \\
s_2 &= x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = -4, \\
s_3 &= x_1 x_2 x_3 = -1.
\end{aligned}
\]
公式：韦达定理：对于三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$，根的和 $x_1+x_2+x_3 = -b/a$，两两积之和 $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = c/a$，三根之积 $x_1x_2x_3 = -d/a$。
提示：注意符号：$x^3 - x^2 - 4x + 1 = 0$ 中 $a=1, b=-1, c=-4, d=1$，因此 $s_1 = -b/a = 1$，$s_2 = c/a = -4$，$s_3 = -d/a = -1$。
步骤 2/4
目标：化简所求表达式
所求表达式为
\[
E = x_1^3 x_2 x_3 + x_2^3 x_1 x_3 + x_3^3 x_1 x_2.
\]
提取公因式 $x_1 x_2 x_3$，得
\[
E = x_1 x_2 x_3 (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) = s_3 (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2).
\]
公式：因式分解：$x_1^3 x_2 x_3 = x_1 x_2 x_3 \cdot x_1^2$，类似地其他两项。
提示：注意提取公因式时，每一项都包含 $x_1 x_2 x_3$，但 $x_1^3 x_2 x_3$ 中 $x_1$ 的指数为3，提取后剩下 $x_1^2$。
步骤 3/4
目标：计算平方和
计算 $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$。利用恒等式
\[
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3).
\]
代入 $s_1 = 1$，$s_2 = -4$，得
\[
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1^2 - 2(-4) = 1 + 8 = 9.
\]
公式：平方和公式：$x_1^2+x_2^2+x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$。
提示：注意 $s_2$ 是负值，代入时符号不要出错。
步骤 4/4
目标：代入求值
将 $s_3 = -1$ 和 $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 9$ 代入 $E = s_3 (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)$，得
\[
E = (-1) \times 9 = -9.
\]
提示：最终结果是一个数值，注意符号。
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