安徽师范大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
七，（15 分）设二阶复数矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 4\end{array}\right)$ ，试问矩阵 $A$ 能否与一个对角矩阵相似？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出矩阵并求特征多项式
设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$。特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 \\ -1 & \lambda-4 \end{vmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-4) + 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda-3)^2$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-3)^2$
提示：注意行列式计算时符号不要出错，尤其是副对角线元素。
步骤 2/6
目标：求解特征值
令特征多项式等于零：$(\lambda-3)^2 = 0$，解得特征值 $\lambda = 3$（二重根），即代数重数为2。
公式：$\lambda = 3$
提示：特征值可能重复，注意代数重数的概念。
步骤 3/6
目标：求特征向量（解齐次线性方程组）
对于特征值 $\lambda=3$，解 $(3I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$。计算 $3I - A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$。解方程组 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，得 $x_1 + x_2 = 0$。
公式：$3I - A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$
提示：注意 $3I - A$ 的计算，不要混淆 $\lambda I - A$ 和 $A - \lambda I$。
步骤 4/6
目标：确定基础解系和几何重数
由 $x_1 + x_2 = 0$，取 $x_1 = 1$，则 $x_2 = -1$，得基础解系 $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。因此特征空间维数为1，即几何重数为1。
公式：基础解系：$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
提示：几何重数是线性无关特征向量的个数，不要与代数重数混淆。
步骤 5/6
目标：判断可对角化条件
矩阵可对角化的充要条件是每个特征值的代数重数等于几何重数。此处特征值 $\lambda=3$ 的代数重数为2，几何重数为1，两者不相等，故矩阵 $A$ 不能对角化。
公式：代数重数 = 几何重数 时才能对角化
提示：注意：对于每个特征值都要检查，但本题只有一个特征值。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于特征值3的代数重数（2）不等于几何重数（1），矩阵 $A$ 不能与对角矩阵相似。
提示：结论要明确，不能只说“不能对角化”，要说明原因。
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