安徽师范大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
六，（20 分）设三个向量 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，但其中任意两个都线性无关。证明
（1）若有常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 或者全为零，或者全部为零；
（2）若有两组常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 和 $\displaystyle l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ，使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ 且 $\displaystyle l_{1} \alpha+l_{2} \beta+l_{3} \gamma=0$ ，
其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\frac{k_{3}}{l_{3}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知向量组 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，但其中任意两个向量线性无关。这意味着存在不全为零的系数使得 $k_1\alpha+k_2\beta+k_3\gamma=0$，且任意两个向量（如 $\alpha, \beta$）不能互相线性表示。
提示：注意区分“线性相关”与“任意两个线性无关”的条件，这是后续推理的基础。
步骤 2/6
目标：证明(1)：假设存在不全为零的系数，推出矛盾
假设 $k_1\alpha+k_2\beta+k_3\gamma=0$ 且系数不全为零。不妨设 $k_1\neq0$，则 $\alpha = -\frac{k_2}{k_1}\beta - \frac{k_3}{k_1}\gamma$。
公式：$\alpha = -\frac{k_2}{k_1}\beta - \frac{k_3}{k_1}\gamma$
提示：注意：若 $k_1=0$，可类似讨论其他非零系数，结论相同。
步骤 3/6
目标：证明(1)：利用任意两个线性无关推出所有系数非零
若 $k_2=0$，则 $\alpha = -\frac{k_3}{k_1}\gamma$，即 $\alpha$ 与 $\gamma$ 线性相关，与已知矛盾。同理，若 $k_3=0$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 线性相关，矛盾。故 $k_2\neq0$ 且 $k_3\neq0$。因此 $k_1,k_2,k_3$ 全不为零。反之，若全为零，显然成立。
提示：注意：任意两个线性无关意味着不能有 $\alpha = \lambda\beta$ 或 $\alpha = \mu\gamma$ 等形式。
步骤 4/6
目标：证明(2)：由(1)知两组系数全非零
由(1)知，若一组系数不全为零，则它们全不为零。已知 $l_1\neq0$，故 $l_1,l_2,l_3$ 全不为零。
提示：注意：$l_1\neq0$ 是已知条件，但需结合(1)才能推出 $l_2,l_3$ 也非零。
步骤 5/6
目标：证明(2)：构造线性组合消去 $\alpha$
考虑 $l_1(k_1\alpha+k_2\beta+k_3\gamma) - k_1(l_1\alpha+l_2\beta+l_3\gamma)=0$，化简得 $(l_1k_2 - k_1l_2)\beta + (l_1k_3 - k_1l_3)\gamma = 0$。
公式：$(l_1k_2 - k_1l_2)\beta + (l_1k_3 - k_1l_3)\gamma = 0$
提示：注意：构造组合的目的是消去 $\alpha$，利用 $\beta,\gamma$ 线性无关。
步骤 6/6
目标：证明(2)：利用 $\beta,\gamma$ 线性无关推出系数比例相等
由于 $\beta,\gamma$ 线性无关，所以 $l_1k_2 - k_1l_2 = 0$ 且 $l_1k_3 - k_1l_3 = 0$，即 $\frac{k_1}{l_1} = \frac{k_2}{l_2}$ 且 $\frac{k_1}{l_1} = \frac{k_3}{l_3}$。因此 $\frac{k_1}{l_1} = \frac{k_2}{l_2} = \frac{k_3}{l_3}$。
公式：$\frac{k_1}{l_1} = \frac{k_2}{l_2} = \frac{k_3}{l_3}$
提示：注意：线性无关意味着系数全为零，这是关键步骤。
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