安徽师范大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
五，（20 分）设 3 级实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & b & 1\end{array}\right)$ ，与矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似，
（1）试求实数 $\displaystyle a, b$ ；
（2）求一正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定特征值
由于 $A$ 与对角矩阵 $B$ 相似，且 $A$ 是实对称矩阵，因此 $A$ 的特征值就是 $B$ 的对角元，即 $\lambda_1=2, \lambda_2=1, \lambda_3=0$。
提示：实对称矩阵必可正交对角化，且特征值均为实数。
步骤 2/8
目标：计算特征多项式并利用特征值条件
计算 $A$ 的特征多项式：
$$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -a & -1 \\ -a & \lambda-1 & -b \\ -1 & -b & \lambda-1 \end{vmatrix}$$
展开并化简得：
$$|\lambda I - A| = (\lambda-1)(\lambda^2 - 2\lambda + 2 + a^2 - b^2) - 2ab$$
由于特征值为 $2,1,0$，代入 $\lambda=0$ 得：
$$- (2 + a^2 - b^2) - 2ab = 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 - b^2 - 2ab - 2 = 0 \quad (1)$$
代入 $\lambda=1$ 得：
$$-2ab = 0 \quad \Rightarrow \quad ab = 0$$
公式：特征多项式 $|\lambda I - A|$
提示：代入特征值时要仔细，注意符号。
步骤 3/8
目标：解出参数 a, b
由 $ab=0$ 分情况讨论：
- 若 $a=0$，代入 (1) 得 $-b^2-2=0$，无实数解。
- 若 $b=0$，代入 (1) 得 $a^2-2=0$，解得 $a=\pm\sqrt{2}$。
验证迹：$\operatorname{tr}(A)=3$，特征值之和 $2+1+0=3$，一致。
因此 $a=\sqrt{2}$ 或 $a=-\sqrt{2}$，$b=0$。
提示：注意 $a$ 有两个可能值，但后续正交矩阵会不同。
步骤 4/8
目标：求特征值 2 对应的特征向量
取 $a=\sqrt{2}, b=0$。解 $(A-2I)\mathbf{x}=0$：
$$A-2I = \begin{pmatrix} -1 & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
行变换得：
$$\begin{pmatrix} -1 & \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
基础解系 $\alpha_1 = (1, \sqrt{2}, 1)^T$，单位化得 $p_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)^T$。
提示：行变换时注意保持向量方向正确。
步骤 5/8
目标：求特征值 1 对应的特征向量
解 $(A-I)\mathbf{x}=0$：
$$A-I = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
行变换得：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
基础解系 $\alpha_2 = (0, 1, -\sqrt{2})^T$，单位化得 $p_2 = \left(0, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^T$。
提示：注意单位化时模长计算正确。
步骤 6/8
目标：求特征值 0 对应的特征向量
解 $A\mathbf{x}=0$：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
行变换得：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
基础解系 $\alpha_3 = (1, -\sqrt{2}, -1)^T$，单位化得 $p_3 = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}\right)^T$。
提示：注意特征向量之间应正交，可验证内积。
步骤 7/8
目标：构造正交矩阵 P
将三个单位正交特征向量按列排成矩阵 $P$：
$$P = (p_1, p_2, p_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
则 $P$ 为正交矩阵，满足 $P^{-1}AP = P^TAP = B$。
提示：正交矩阵的列向量需单位正交，且顺序与特征值对应。
步骤 8/8
目标：给出最终答案
（1）$a = \sqrt{2}$ 或 $a = -\sqrt{2}$，$b = 0$。
（2）正交矩阵 $P$ 如上（取 $a=\sqrt{2}$ 时）。若取 $a=-\sqrt{2}$，类似可得另一正交矩阵。
提示：注意 $a$ 有两个解，但题目只要求一组即可。
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