安徽师范大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
四，（15 分）设 $\displaystyle m, n, r$ 都是正整数，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：存在秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times r$ 矩阵和秩为 $r$ 的 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用秩的标准型分解
由于矩阵 $A$ 的秩为 $r$，根据矩阵的秩标准型定理，存在可逆矩阵 $P$（$m \times m$）和 $Q$（$n \times n$），使得 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$，其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。
公式：$A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$
提示：确保 $P$ 和 $Q$ 是可逆矩阵，且 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 是 $m \times n$ 矩阵。
步骤 2/7
目标：分块矩阵
将 $P$ 按列分块为 $P = \begin{pmatrix} P_1 & P_2 \end{pmatrix}$，其中 $P_1$ 是 $m \times r$ 矩阵，$P_2$ 是 $m \times (m-r)$ 矩阵；将 $Q$ 按行分块为 $Q = \begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \end{pmatrix}$，其中 $Q_1$ 是 $r \times n$ 矩阵，$Q_2$ 是 $(n-r) \times n$ 矩阵。
提示：分块时注意维度匹配：$P_1$ 的列数等于 $r$，$Q_1$ 的行数等于 $r$。
步骤 3/7
目标：代入并化简
将分块后的矩阵代入 $A$ 的表达式：$A = \begin{pmatrix} P_1 & P_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \end{pmatrix} = P_1 I_r Q_1 + P_2 \cdot 0 \cdot Q_2 = P_1 Q_1$。
公式：$A = P_1 Q_1$
提示：注意矩阵乘法中零块的作用，确保计算正确。
步骤 4/7
目标：定义矩阵 B 和 C
令 $B = P_1$，$C = Q_1$，则 $A = BC$，其中 $B$ 是 $m \times r$ 矩阵，$C$ 是 $r \times n$ 矩阵。
提示：注意 $B$ 和 $C$ 的维度：$B$ 的列数等于 $C$ 的行数等于 $r$。
步骤 5/7
目标：证明 B 的秩为 r
由于 $P$ 可逆，其列向量线性无关，而 $P_1$ 是 $P$ 的前 $r$ 列，因此 $P_1$ 的列向量也线性无关，故 $\operatorname{rank}(B) = r$。
提示：可逆矩阵的列向量组线性无关，其子集也线性无关。
步骤 6/7
目标：证明 C 的秩为 r
由于 $Q$ 可逆，其行向量线性无关，而 $Q_1$ 是 $Q$ 的前 $r$ 行，因此 $Q_1$ 的行向量也线性无关，故 $\operatorname{rank}(C) = r$。
提示：可逆矩阵的行向量组线性无关，其子集也线性无关。
步骤 7/7
目标：结论
因此，存在秩为 $r$ 的 $m \times r$ 矩阵 $B$ 和秩为 $r$ 的 $r \times n$ 矩阵 $C$，使得 $A = BC$。
提示：注意 $B$ 和 $C$ 的秩均为 $r$，这是题目要求。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。