安徽师范大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
八，（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，且 $\displaystyle f(x)=g(x) h(x)$ ， $\displaystyle (g(x), h(x))=1, \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle K, U, W$ 分别是 $V$ 的线性变换 $\displaystyle f(\sigma), g(\sigma), h(\sigma)$ 的核，证明：$\displaystyle K=U \oplus W$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用互素条件得到多项式恒等式
由于 $(g(x), h(x)) = 1$，存在多项式 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $u(x)g(x) + v(x)h(x) = 1$。代入 $\sigma$ 得 $u(\sigma)g(\sigma) + v(\sigma)h(\sigma) = I$，其中 $I$ 是恒等变换。
公式：u(x)g(x) + v(x)h(x) = 1
提示：注意多项式互素的条件是存在这样的 $u,v$，且代入线性变换后保持等式成立。
步骤 2/6
目标：将 $K$ 中向量分解为两个向量之和
对任意 $\alpha \in K$，即 $f(\sigma)\alpha = 0$。由恒等式得 $\alpha = u(\sigma)g(\sigma)\alpha + v(\sigma)h(\sigma)\alpha$。令 $\alpha_1 = v(\sigma)h(\sigma)\alpha$，$\alpha_2 = u(\sigma)g(\sigma)\alpha$，则 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$。
公式：\alpha = u(\sigma)g(\sigma)\alpha + v(\sigma)h(\sigma)\alpha
提示：注意 $\alpha$ 属于 $K$ 的条件 $f(\sigma)\alpha=0$ 将在下一步用到。
步骤 3/6
目标：证明 $\alpha_1 \in U$，$\alpha_2 \in W$
计算 $g(\sigma)\alpha_1 = g(\sigma)v(\sigma)h(\sigma)\alpha = v(\sigma)g(\sigma)h(\sigma)\alpha = v(\sigma)f(\sigma)\alpha = 0$，故 $\alpha_1 \in U$。类似地，$h(\sigma)\alpha_2 = h(\sigma)u(\sigma)g(\sigma)\alpha = u(\sigma)h(\sigma)g(\sigma)\alpha = u(\sigma)f(\sigma)\alpha = 0$，故 $\alpha_2 \in W$。因此 $K \subseteq U + W$。
公式：g(\sigma)\alpha_1 = v(\sigma)f(\sigma)\alpha = 0
提示：注意 $g(\sigma)$ 与 $h(\sigma)$ 可交换，因为多项式环是交换的。
步骤 4/6
目标：证明 $U \cap W = \{0\}$
若 $\alpha \in U \cap W$，则 $g(\sigma)\alpha = 0$ 且 $h(\sigma)\alpha = 0$。代入恒等式 $\alpha = u(\sigma)g(\sigma)\alpha + v(\sigma)h(\sigma)\alpha = 0$，故 $\alpha = 0$。因此 $U \cap W = \{0\}$。
公式：\alpha = u(\sigma)g(\sigma)\alpha + v(\sigma)h(\sigma)\alpha = 0
提示：这里直接利用恒等式得到 $\alpha=0$，无需再使用 $f(\sigma)$。
步骤 5/6
目标：证明 $U + W \subseteq K$
对任意 $\alpha \in U + W$，设 $\alpha = \beta + \gamma$，其中 $\beta \in U$，$\gamma \in W$。则 $f(\sigma)\alpha = g(\sigma)h(\sigma)(\beta+\gamma) = h(\sigma)g(\sigma)\beta + g(\sigma)h(\sigma)\gamma = 0 + 0 = 0$，故 $\alpha \in K$。因此 $U + W \subseteq K$。
公式：f(\sigma)\alpha = g(\sigma)h(\sigma)\alpha = 0
提示：注意 $g(\sigma)\beta=0$ 和 $h(\sigma)\gamma=0$ 的定义。
步骤 6/6
目标：综合得出直和分解
由 $K \subseteq U+W$ 和 $U+W \subseteq K$ 得 $K = U+W$，又 $U \cap W = \{0\}$，故 $K = U \oplus W$。
提示：直和需要同时满足和等于全空间以及交为零。
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