安徽师范大学 2015年高等代数第0题

行列式 $D_n$ 第一列元素为 $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$，其余位置除次对角线为 $-1$ 和主对角线为 $x$ 外均为 $0$。按第一列展开是自然的思路，因为第一列只有 $n$ 个非零元，且其余子式容易计算。

按第一列展开： $$D_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} a_{k-1} M_{k1}$$ 其中 $M_{k1}$ 是去掉第 $k$ 行和第 $1$ 列后的 $(n-1)$ 阶子式。具体地： - 当 $k=1$ 时，$M_{11}$ 是去掉第1行第1列后的子式，即 $$\begin{vmatrix} x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & x \end{vmatrix}_{(n-1)}$$ - 当 $k \geq 2$ 时，$M_{k1}$ 是去掉第 $k$ 行第1列后的子式，其第一列为 $(-1,0,\ldots,0)^T$（因为原行列式第1列第2行及以下为 $a_1,\ldots,a_{n-1}$，但去掉第 $k$ 行后，第一列剩下 $n-1$ 个元素，其中第1行（对应原第2行）为 $-1$，其余为0）。

$M_{11}$ 是一个 $(n-1)$ 阶上三角行列式，主对角线元素均为 $x$，次对角线为 $-1$，但上三角部分全为0，因此其值为对角线元素的乘积： $$M_{11} = x^{n-1}.$$

对于 $k \geq 2$，$M_{k1}$ 的第一列只有第一个元素为 $-1$（对应原行列式的第2行第1列），其余为0。按第一列展开 $M_{k1}$，得到： $$M_{k1} = (-1) \cdot (-1)^{1+1} \cdot N = -N$$ 其中 $N$ 是去掉 $M_{k1}$ 的第1行和第1列后的 $(n-2)$ 阶子式。$N$ 是一个上三角行列式，主对角线元素均为 $x$，共 $n-2$ 个，因此 $N = x^{n-2}$。所以 $$M_{k1} = -x^{n-2}.$$

将 $M_{11}$ 和 $M_{k1}$ 代入展开式： $$D_n = (-1)^{1+1} a_0 \cdot x^{n-1} + \sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+1} a_{k-1} \cdot (-x^{n-2})$$ $$= a_0 x^{n-1} + \sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+2} a_{k-1} x^{n-2}.$$

令 $i = k-1$，则 $k=2,\ldots,n$ 对应 $i=1,\ldots,n-1$，且 $(-1)^{k+2} = (-1)^{i+3} = (-1)^{i+1}$（因为 $(-1)^3 = -1$，但 $(-1)^{i+3}=(-1)^{i+1} \cdot (-1)^2 = (-1)^{i+1}$）。因此 $$D_n = a_0 x^{n-1} + x^{n-2} \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{i+1} a_i.$$

因此，$n$ 级行列式 $D_n$ 的计算结果为： $$D_n = a_0 x^{n-1} + x^{n-2} \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{i+1} a_i.$$