安徽师范大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$A$ 是一个 $n$ 级实方阵，满足 $\displaystyle A^{3}+A=0$ ，证明：矩阵 $A$ 的迹是零．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用已知条件得到矩阵方程
已知 $A^3 + A = 0$，即 $A(A^2 + I) = 0$。这表明矩阵 $A$ 满足一个多项式方程。
公式：$A^3 + A = 0$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但此处多项式是 $A$ 的多项式，运算顺序不影响。
步骤 2/6
目标：推导极小多项式整除关系
设 $A$ 的极小多项式为 $m(\lambda)$。由于 $A$ 满足 $\lambda^3 + \lambda = \lambda(\lambda^2+1)$，故 $m(\lambda)$ 整除 $\lambda(\lambda^2+1)$。即 $m(\lambda) \mid \lambda(\lambda^2+1)$。
公式：$m(\lambda) \mid \lambda(\lambda^2+1)$
提示：极小多项式是满足 $m(A)=0$ 的次数最低的首一多项式，且整除任何使 $A$ 为零的多项式。
步骤 3/6
目标：确定特征值的可能取值
极小多项式的根是矩阵的特征值。由于 $m(\lambda) \mid \lambda(\lambda^2+1)$，所以 $m(\lambda)$ 的根只能是 $0$ 或 $\pm i$（$i$ 为虚数单位）。因此 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $\pm i$。
公式：特征值 $\lambda \in \{0, i, -i\}$
提示：注意 $\lambda^2+1=0$ 的根是 $\pm i$，不是实数。
步骤 4/6
目标：利用实矩阵性质处理复数特征值
$A$ 是实矩阵，其特征多项式是实系数多项式。非实特征值必成对出现，且互为共轭。因此，若 $i$ 是特征值，则 $-i$ 也是特征值，且代数重数相同。
公式：无
提示：实矩阵的复数特征值共轭成对出现，这是实系数多项式根的性质。
步骤 5/6
目标：计算特征值之和
设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$（计入代数重数）。迹等于特征值之和：$\operatorname{tr}(A) = \sum_{k=1}^n \lambda_k$。特征值 $0$ 贡献 $0$；每一对 $i$ 和 $-i$ 的和为 $0$。因此所有特征值之和为 $0$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \sum_{k=1}^n \lambda_k$
提示：迹是特征值之和，与特征值的顺序无关。注意复数特征值成对出现，和为零。
步骤 6/6
目标：得出结论
由特征值之和为 $0$ 即得 $\operatorname{tr}(A) = 0$。
公式：$\operatorname{tr}(A)=0$
提示：结论成立，无需其他条件。
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