安徽师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
一，（15 分）设 $\displaystyle u(x), v(x), f(x), g(x)$ 都是数域 $P$ 上的多项式，且
$\displaystyle \left(x^{4}+1\right) f(x)+(x+1) u(x)+(x-2) v(x)=0,\left(x^{4}+1\right) f(x)+(x-1) u(x)+(x+2) v(x)=0$
试问：$\displaystyle u(x)$ 和 $\displaystyle v(x)$ 是否都能被 $\displaystyle x^{4}+1$ 整除，为什么？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：列出方程组并相减
已知方程组：
\[
\begin{cases}
(x^4+1)f(x) + (x+1)u(x) + (x-2)v(x) = 0, \\
(x^4+1)f(x) + (x-1)u(x) + (x+2)v(x) = 0.
\end{cases}
\]
两式相减得：
\[
[(x+1)-(x-1)]u(x) + [(x-2)-(x+2)]v(x) = 0,
\]
即 $2u(x) - 4v(x) = 0$。
公式：2u(x) - 4v(x) = 0
提示：注意相减时各项对应，不要遗漏符号。
步骤 2/8
目标：得到 u(x) 与 v(x) 的关系
由 $2u(x) - 4v(x) = 0$ 得 $u(x) = 2v(x)$。
公式：u(x) = 2v(x)
提示：化简时系数约分要正确。
步骤 3/8
目标：代入第一个方程
将 $u(x) = 2v(x)$ 代入第一个方程：
\[
(x^4+1)f(x) + (x+1)\cdot 2v(x) + (x-2)v(x) = 0,
\]
即 $(x^4+1)f(x) + (2x+2 + x-2)v(x) = 0$，化简得 $(x^4+1)f(x) + 3x v(x) = 0$。
公式：(x^4+1)f(x) + 3x v(x) = 0
提示：合并同类项时注意系数计算。
步骤 4/8
目标：移项得到整除关系
由 $(x^4+1)f(x) + 3x v(x) = 0$ 得 $3x v(x) = -(x^4+1)f(x)$，因此 $x^4+1$ 整除 $3x v(x)$。
公式：x^4+1 \mid 3x v(x)
提示：注意整除符号的方向。
步骤 5/8
目标：证明 gcd(x^4+1, x) = 1
由于 $x^4+1$ 在复数域上的根为 $e^{i\pi/4}, e^{i3\pi/4}, e^{i5\pi/4}, e^{i7\pi/4}$，均不为0，故 $x$ 与 $x^4+1$ 互素，即 $\gcd(x^4+1, x) = 1$。
公式：\gcd(x^4+1, x) = 1
提示：也可用辗转相除法或直接观察：x 的根0不是 x^4+1 的根。
步骤 6/8
目标：推出 x^4+1 整除 v(x)
因为 $\gcd(x^4+1, x) = 1$，且 $x^4+1 \mid 3x v(x)$，所以 $x^4+1 \mid v(x)$。
公式：x^4+1 \mid v(x)
提示：注意3是常数，不影响整除性。
步骤 7/8
目标：推出 x^4+1 整除 u(x)
由 $u(x) = 2v(x)$ 及 $x^4+1 \mid v(x)$ 得 $x^4+1 \mid u(x)$。
公式：x^4+1 \mid u(x)
提示：常数因子不影响整除性。
步骤 8/8
目标：得出结论
因此，$u(x)$ 和 $v(x)$ 都能被 $x^4+1$ 整除。
提示：注意题目问的是“是否都能”，回答“是”。
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