📝 安徽师范大学 2016年高等代数真题
第0题
一，（15 分）设 $\displaystyle u(x), v(x), f(x), g(x)$ 都是数域 $P$ 上的多项式，且
$\displaystyle \left(x^{4}+1\right) f(x)+(x+1) u(x)+(x-2) v(x)=0,\left(x^{4}+1\right) f(x)+(x-1) u(x)+(x+2) v(x)=0$
试问：$\displaystyle u(x)$ 和 $\displaystyle v(x)$ 是否都能被 $\displaystyle x^{4}+1$ 整除，为什么？
$\displaystyle \left(x^{4}+1\right) f(x)+(x+1) u(x)+(x-2) v(x)=0,\left(x^{4}+1\right) f(x)+(x-1) u(x)+(x+2) v(x)=0$
试问：$\displaystyle u(x)$ 和 $\displaystyle v(x)$ 是否都能被 $\displaystyle x^{4}+1$ 整除，为什么？
第0题
七，（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性
变换，且 $\displaystyle \sigma \alpha=\alpha+\beta+\gamma, \sigma \beta=\beta+\gamma, \sigma \gamma=\gamma$ ．
（1）证明 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一可逆线性变换；
（2）求线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle 3 \sigma-2 \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 下的矩阵。
变换，且 $\displaystyle \sigma \alpha=\alpha+\beta+\gamma, \sigma \beta=\beta+\gamma, \sigma \gamma=\gamma$ ．
（1）证明 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一可逆线性变换；
（2）求线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle 3 \sigma-2 \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 下的矩阵。
第0题
三，（15 分）设 $n$ 是一个大于 1 的整数，计算 $n$ 级行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
\frac{a_{1}}{1+a_{1}} & a_{1} & a_{1}^{2} & \cdots & a_{1}^{n-1} \\
\frac{a_{2}}{1+a_{2}} & a_{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2}^{n-1} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{a_{n}}{1+a_{n}} & a_{n} & a_{n}^{2} & \cdots & a_{n}^{n-1}
\end{array}\right|
$$
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
\frac{a_{1}}{1+a_{1}} & a_{1} & a_{1}^{2} & \cdots & a_{1}^{n-1} \\
\frac{a_{2}}{1+a_{2}} & a_{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2}^{n-1} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{a_{n}}{1+a_{n}} & a_{n} & a_{n}^{2} & \cdots & a_{n}^{n-1}
\end{array}\right|
$$
第0题
九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A B=B A$ ，又有一个正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ，证明，矩阵 $\displaystyle A+B$ 的行列式等于矩阵 $B$ 的行列式，即 $\displaystyle |A+B|=|B|$ ．
第0题
二，（15 分）设 $\displaystyle m, n$ 都是正整数且 $n$ 大于 $\displaystyle m, f(x)$ 是有理数域上一个 $m$ 次多项式，
试问： $\displaystyle 2^{\frac{1}{n}}$ 是不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根？为什么？
试问： $\displaystyle 2^{\frac{1}{n}}$ 是不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根？为什么？
第0题
五，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级实对称矩阵，证明：
（1）矩阵 $A$ 的特征值都是实数．
（2）若矩阵 $A$ 的特征值都大于 $a$ ，矩阵 $B$ 的特征值都大于 $b$ ，则矩阵 $\displaystyle A+B$ 的特征值都大于 $\displaystyle a+b$ 。
（1）矩阵 $A$ 的特征值都是实数．
（2）若矩阵 $A$ 的特征值都大于 $a$ ，矩阵 $B$ 的特征值都大于 $b$ ，则矩阵 $\displaystyle A+B$ 的特征值都大于 $\displaystyle a+b$ 。
第0题
八，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$A$ 是一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，满足 $\displaystyle A^{2}=A, E$ 是 $n$阶单位矩阵。
（1）求矩阵 $\displaystyle A+E$ 的行列式；
（2）矩阵 $A$ 的迹是 $r$ ．
（1）求矩阵 $\displaystyle A+E$ 的行列式；
（2）矩阵 $A$ 的迹是 $r$ ．
第0题
六，（20 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots \alpha_{s}$ 是线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $s$ 个解，其中 $b$ 是非零向量，证明：
（1）若常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots k_{s}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} k_{i} \alpha_{i}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} k_{i}=0$ ．
（2）若常数 $\displaystyle h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{s}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} h_{i} \alpha_{i}$ 是线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的解，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} h_{i}=1$
（1）若常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots k_{s}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} k_{i} \alpha_{i}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} k_{i}=0$ ．
（2）若常数 $\displaystyle h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{s}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} h_{i} \alpha_{i}$ 是线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的解，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} h_{i}=1$
第0题
四，（15 分）设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，向量 $\displaystyle \beta_{1}=k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}$ ， $\displaystyle \beta_{2}=k_{1} \alpha_{2}+k_{2} \alpha_{3}, \beta_{3}=k_{1} \alpha_{3}+k_{2} \alpha_{4}, \beta_{4}=k_{1} \alpha_{4}+k_{2} \alpha_{1}$ ，试问：常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ 满足什么条件时，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 线性无关．