安徽师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A B=B A$ ，又有一个正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ，证明，矩阵 $\displaystyle A+B$ 的行列式等于矩阵 $B$ 的行列式，即 $\displaystyle |A+B|=|B|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $A^m=0$，故 $A$ 是幂零矩阵，其特征值全为0。又 $AB=BA$，即 $A$ 与 $B$ 可交换。
公式：$A^m=0$
提示：注意幂零矩阵的特征值全为0，但反之不真。
步骤 2/6
目标：应用同时上三角化定理
由于 $A$ 与 $B$ 可交换，且 $A$ 是幂零矩阵，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 同时为上三角矩阵。具体地，$P^{-1}AP$ 是严格上三角矩阵（对角线全0），$P^{-1}BP$ 的对角线元素为 $B$ 的特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$。
公式：存在可逆 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 为上三角
提示：同时上三角化要求矩阵可交换，且其中一个可对角化？这里用幂零矩阵的性质，实际上任何可交换的复方阵都可同时上三角化。
步骤 3/6
目标：写出上三角化后的形式
设 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & * & \cdots & * \\ 0 & 0 & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$，$P^{-1}BP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * & \cdots & * \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}$。
提示：注意 $P^{-1}AP$ 的对角线全为0，因为 $A$ 的特征值全为0。
步骤 4/6
目标：计算 $A+B$ 的上三角化形式
则 $P^{-1}(A+B)P = P^{-1}AP + P^{-1}BP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * & \cdots & * \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}$，仍为上三角矩阵，且对角线元素为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$。
公式：$P^{-1}(A+B)P = P^{-1}AP + P^{-1}BP$
提示：上三角矩阵的和仍为上三角，且对角线元素相加。
步骤 5/6
目标：计算行列式
由于相似矩阵的行列式相等，有 $|A+B| = |P^{-1}(A+B)P|$。上三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积，故 $|P^{-1}(A+B)P| = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$。
公式：$|A+B| = |P^{-1}(A+B)P| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
提示：注意相似变换不改变行列式。
步骤 6/6
目标：得到结论
而 $|B| = |P^{-1}BP| = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$，因此 $|A+B| = |B|$。
公式：$|B| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
提示：注意 $B$ 的行列式等于其特征值的乘积。
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