安徽师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
二，（15 分）设 $\displaystyle m, n$ 都是正整数且 $n$ 大于 $\displaystyle m, f(x)$ 是有理数域上一个 $m$ 次多项式，
试问： $\displaystyle 2^{\frac{1}{n}}$ 是不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定符号并引入多项式
设 $\alpha = 2^{1/n}$，则 $\alpha^n = 2$。考虑多项式 $g(x) = x^n - 2$。
公式：$\alpha^n = 2$
提示：注意 $\alpha$ 是 $2$ 的 $n$ 次算术根，为正实数。
步骤 2/6
目标：证明 $g(x)$ 在有理数域上不可约
应用艾森斯坦判别法：取素数 $p=2$，则 $p$ 整除所有系数（除首项外），且 $p^2$ 不整除常数项 $-2$，因此 $g(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
公式：艾森斯坦判别法
提示：确保 $p$ 整除除首项外的所有系数，且 $p^2$ 不整除常数项。
步骤 3/6
目标：得出 $\alpha$ 的极小多项式次数
由于 $g(x)$ 不可约且 $g(\alpha)=0$，故 $g(x)$ 是 $\alpha$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，其次数为 $n$。
公式：$\deg(\text{极小多项式}) = n$
提示：极小多项式是唯一的首一不可约多项式。
步骤 4/6
目标：假设 $f(\alpha)=0$ 并推导矛盾
若 $f(\alpha)=0$，则 $\alpha$ 的极小多项式 $g(x)$ 整除 $f(x)$，从而 $n = \deg(g) \leq \deg(f) = m$。
公式：$g(x) \mid f(x) \Rightarrow n \leq m$
提示：整除关系要求 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上，且 $g(x)$ 不可约。
步骤 5/6
目标：利用条件 $n > m$ 得出矛盾
已知 $n > m$，但由假设推出 $n \leq m$，矛盾。因此 $f(\alpha) \neq 0$。
提示：注意题目条件 $n > m$ 是已知的。
步骤 6/6
目标：给出结论
所以 $2^{1/n}$ 不是 $f(x)$ 的实根。
提示：结论明确回答题目问题。
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