安徽师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
三，（15 分）设 $n$ 是一个大于 1 的整数，计算 $n$ 级行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
\frac{a_{1}}{1+a_{1}} & a_{1} & a_{1}^{2} & \cdots & a_{1}^{n-1} \\
\frac{a_{2}}{1+a_{2}} & a_{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2}^{n-1} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{a_{n}}{1+a_{n}} & a_{n} & a_{n}^{2} & \cdots & a_{n}^{n-1}
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将第一列改写为两项之差
注意到 $\frac{a_i}{1+a_i} = 1 - \frac{1}{1+a_i}$，因此原行列式可写为：
$$D_n = \begin{vmatrix}
1-\frac{1}{1+a_1} & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\
1-\frac{1}{1+a_2} & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1-\frac{1}{1+a_n} & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}
\end{vmatrix}$$
公式：\frac{a_i}{1+a_i} = 1 - \frac{1}{1+a_i}
提示：注意 $a_i \neq -1$，否则分母为零。
步骤 2/6
目标：将行列式拆分为两个行列式的差
利用行列式的线性性质，将第一列拆开，得到：
$$D_n = \begin{vmatrix}
1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\
1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_n & \cdots & a_n^{n-1}
\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}
\frac{1}{1+a_1} & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\
\frac{1}{1+a_2} & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{1}{1+a_n} & a_n & \cdots & a_n^{n-1}
\end{vmatrix}$$
公式：行列式的线性性质：若一列是两数之和，则可拆分为两个行列式之和。
提示：拆分时注意符号：第一列是 $1 - \frac{1}{1+a_i}$，所以是第一个行列式减去第二个行列式。
步骤 3/6
目标：计算第一个行列式（范德蒙德行列式）
第一个行列式为经典的范德蒙德行列式，其值为：
$$V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i)$$
公式：\begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i)
提示：范德蒙德行列式的公式中，注意是 $a_j - a_i$ 且 $i
步骤 4/6
目标：处理第二个行列式：提取第一列公因子
第二个行列式的第一列各元素为 $\frac{1}{1+a_i}$，可提取公因子 $\frac{1}{1+a_i}$ 到行列式外，即：
$$\begin{vmatrix}
\frac{1}{1+a_1} & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\
\frac{1}{1+a_2} & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{1}{1+a_n} & a_n & \cdots & a_n^{n-1}
\end{vmatrix} = \left(\prod_{i=1}^n \frac{1}{1+a_i}\right) \begin{vmatrix}
1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\
1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_n & \cdots & a_n^{n-1}
\end{vmatrix}$$
公式：提取公因子：若行列式某列有公因子，可提到行列式外。
提示：注意提取的是每个元素的因子，但不同行因子不同，所以是乘积形式。
步骤 5/6
目标：代入范德蒙德行列式结果
第二个行列式提取公因子后，剩下的行列式仍是范德蒙德行列式 $V$，因此第二个行列式等于 $\left(\prod_{i=1}^n \frac{1}{1+a_i}\right) V$。
提示：确保 $V$ 与第一个行列式相同。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终表达式
将两个行列式的结果代入 $D_n$ 的表达式：
$$D_n = V - \left(\prod_{i=1}^n \frac{1}{1+a_i}\right) V = V \left(1 - \prod_{i=1}^n \frac{1}{1+a_i}\right)$$
公式：D_n = \left(\prod_{1\leq i
提示：最终结果中 $V$ 是范德蒙德行列式，注意 $a_i$ 互异时 $V\neq0$，但公式对任意 $a_i$ 成立（只要分母不为零）。
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