安徽师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
四，（15 分）设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，向量 $\displaystyle \beta_{1}=k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}$ ， $\displaystyle \beta_{2}=k_{1} \alpha_{2}+k_{2} \alpha_{3}, \beta_{3}=k_{1} \alpha_{3}+k_{2} \alpha_{4}, \beta_{4}=k_{1} \alpha_{4}+k_{2} \alpha_{1}$ ，试问：常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ 满足什么条件时，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 线性无关．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立线性表示关系
将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表示，得到矩阵形式：
$$(\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) A,$$
其中
$$A = \begin{pmatrix} k_1 & 0 & 0 & k_2 \\ k_2 & k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & k_1 & 0 \\ 0 & 0 & k_2 & k_1 \end{pmatrix}.$$
提示：注意系数矩阵的排列顺序，确保每个 $\beta_i$ 的系数对应正确。
步骤 2/7
目标：转化为矩阵可逆性条件
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，$\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 线性无关当且仅当矩阵 $A$ 可逆，即 $\det A \neq 0$。
提示：线性无关的向量组在基变换下，新向量组线性无关等价于变换矩阵可逆。
步骤 3/7
目标：计算行列式
计算 $\det A$：
$$\det A = \begin{vmatrix} k_1 & 0 & 0 & k_2 \\ k_2 & k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & k_1 & 0 \\ 0 & 0 & k_2 & k_1 \end{vmatrix}.$$
提示：行列式按第一行展开，注意符号。
步骤 4/7
目标：按第一行展开
按第一行展开：
$$\det A = k_1 \begin{vmatrix} k_1 & 0 & 0 \\ k_2 & k_1 & 0 \\ 0 & k_2 & k_1 \end{vmatrix} - k_2 \begin{vmatrix} k_2 & k_1 & 0 \\ 0 & k_2 & k_1 \\ 0 & 0 & k_2 \end{vmatrix}.$$
提示：注意展开时正负号：$(-1)^{1+4} = -1$，所以第二项为 $-k_2$。
步骤 5/7
目标：计算三阶行列式
两个三阶行列式均为三角矩阵，直接得：
$$\begin{vmatrix} k_1 & 0 & 0 \\ k_2 & k_1 & 0 \\ 0 & k_2 & k_1 \end{vmatrix} = k_1^3, \quad \begin{vmatrix} k_2 & k_1 & 0 \\ 0 & k_2 & k_1 \\ 0 & 0 & k_2 \end{vmatrix} = k_2^3.$$
公式：三角行列式等于主对角线元素乘积
提示：注意第一个是下三角，第二个是上三角，但结果都是对角线乘积。
步骤 6/7
目标：化简行列式结果
代入得：
$$\det A = k_1 \cdot k_1^3 - k_2 \cdot k_2^3 = k_1^4 - k_2^4 = (k_1^2 - k_2^2)(k_1^2 + k_2^2) = (k_1 - k_2)(k_1 + k_2)(k_1^2 + k_2^2).$$
公式：平方差公式
提示：注意 $k_1^2 + k_2^2 = 0$ 仅当 $k_1 = k_2 = 0$，此时行列式为0。
步骤 7/7
目标：得出线性无关条件
令 $\det A \neq 0$，即 $k_1^4 - k_2^4 \neq 0$，得 $k_1 \neq \pm k_2$。注意 $k_1 = k_2 = 0$ 也包含在 $k_1 = \pm k_2$ 中。因此，$\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 线性无关当且仅当 $k_1 \neq \pm k_2$。
提示：条件 $k_1 \neq \pm k_2$ 已排除 $k_1 = k_2 = 0$ 的情况。
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