安徽师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
五，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级实对称矩阵，证明：
（1）矩阵 $A$ 的特征值都是实数．
（2）若矩阵 $A$ 的特征值都大于 $a$ ，矩阵 $B$ 的特征值都大于 $b$ ，则矩阵 $\displaystyle A+B$ 的特征值都大于 $\displaystyle a+b$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明实对称矩阵的特征值为实数：设特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\alpha$ 是对应的特征向量，即 $A\alpha = \lambda \alpha$。
公式：$A\alpha = \lambda \alpha$
提示：注意特征向量非零。
步骤 2/7
目标：取共轭转置并利用对称性
对 $A\alpha = \lambda \alpha$ 两边取共轭转置，得 $\overline{\alpha}^T A^T = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T$。由于 $A$ 是实对称矩阵，$A^T = A$ 且 $\overline{A}=A$，所以 $\overline{\alpha}^T A = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T$。
公式：$\overline{\alpha}^T A = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T$
提示：共轭转置时注意顺序，且 $A$ 是实矩阵，共轭不变。
步骤 3/7
目标：左乘特征向量得到等式
将 $\overline{\alpha}^T A = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T$ 右乘 $\alpha$，得 $\overline{\alpha}^T A \alpha = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T \alpha$。又 $A\alpha = \lambda \alpha$，代入得 $\overline{\alpha}^T (\lambda \alpha) = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T \alpha$，即 $\lambda \overline{\alpha}^T \alpha = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T \alpha$。
公式：$\lambda \overline{\alpha}^T \alpha = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T \alpha$
提示：注意 $\overline{\alpha}^T \alpha = \|\alpha\|^2 > 0$。
步骤 4/7
目标：推出特征值为实数
由于 $\overline{\alpha}^T \alpha = \|\alpha\|^2 > 0$，两边除以 $\overline{\alpha}^T \alpha$ 得 $\lambda = \overline{\lambda}$，所以 $\lambda$ 是实数。
公式：$\lambda = \overline{\lambda}$
提示：特征向量非零保证内积为正。
步骤 5/7
目标：证明特征值之和大于a+b：转化为正定矩阵
由条件，$A$ 的特征值都大于 $a$，$B$ 的特征值都大于 $b$。则 $A - aI$ 的特征值都大于 $0$，即 $A - aI$ 正定；同理 $B - bI$ 正定。
公式：$A - aI$ 正定，$B - bI$ 正定
提示：正定矩阵的定义：所有特征值大于0。
步骤 6/7
目标：利用正定矩阵的和仍正定
正定矩阵的和仍为正定矩阵，所以 $(A - aI) + (B - bI) = (A+B) - (a+b)I$ 是正定矩阵。
公式：$(A+B) - (a+b)I$ 正定
提示：正定矩阵的和正定性成立。
步骤 7/7
目标：推出特征值大于a+b
由于 $(A+B) - (a+b)I$ 正定，它的所有特征值大于 $0$，即 $A+B$ 的特征值都大于 $a+b$。
公式：$\lambda(A+B) > a+b$
提示：注意特征值的平移性质。
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