安徽师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
七，（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性
变换，且 $\displaystyle \sigma \alpha=\alpha+\beta+\gamma, \sigma \beta=\beta+\gamma, \sigma \gamma=\gamma$ ．
（1）证明 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一可逆线性变换；
（2）求线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle 3 \sigma-2 \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 下的矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出线性变换在基下的矩阵
由已知条件：$\sigma\alpha = \alpha+\beta+\gamma$，$\sigma\beta = \beta+\gamma$，$\sigma\gamma = \gamma$。将变换后的向量用基$\alpha,\beta,\gamma$表示，得到矩阵$A$，其中第$j$列是$\sigma$作用在第$j$个基向量上的坐标。因此，
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.
\]
公式：$\sigma(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)A$
提示：注意矩阵的列对应基向量的像的坐标，顺序不能颠倒。
步骤 2/6
目标：证明线性变换可逆
线性变换$\sigma$可逆当且仅当它在基下的矩阵$A$可逆。计算$A$的行列式：
\[
\det(A) = 1 \times 1 \times 1 = 1 \neq 0,
\]
所以$A$可逆，从而$\sigma$可逆。
公式：$\det(A) \neq 0 \iff A$可逆$\iff \sigma$可逆
提示：行列式是上三角矩阵，直接等于主对角线元素乘积。
步骤 3/6
目标：求逆矩阵
由于$A$是下三角矩阵，求逆可用待定系数法或直接公式。设$A^{-1} = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ b & c & 0 \\ d & e & f \end{pmatrix}$，由$AA^{-1}=I$解得：
\[
a=1,\; b=-1,\; c=1,\; d=0,\; e=-1,\; f=1.
\]
因此
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
\]
公式：$AA^{-1}=I$
提示：注意逆矩阵也是下三角矩阵，且主对角线元素为1。
步骤 4/6
目标：计算线性变换$3\sigma-2\sigma^{-1}$的矩阵
线性变换$3\sigma-2\sigma^{-1}$在基$\alpha,\beta,\gamma$下的矩阵为$3A - 2A^{-1}$。代入$A$和$A^{-1}$：
\[
3A - 2A^{-1} = 3\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
\]
公式：$(3\sigma-2\sigma^{-1})(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)(3A-2A^{-1})$
提示：注意线性变换的线性组合对应矩阵的线性组合。
步骤 5/6
目标：矩阵运算
分别计算数乘和减法：
\[
3A = \begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
3 & 3 & 0 \\
3 & 3 & 3
\end{pmatrix},\quad
2A^{-1} = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & 0 \\
0 & -2 & 2
\end{pmatrix}.
\]
相减得：
\[
3A - 2A^{-1} = \begin{pmatrix}
3-2 & 0-0 & 0-0 \\
3-(-2) & 3-2 & 0-0 \\
3-0 & 3-(-2) & 3-2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
5 & 1 & 0 \\
3 & 5 & 1
\end{pmatrix}.
\]
提示：注意减法时对应元素相减，特别是符号变化。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
因此，线性变换$3\sigma-2\sigma^{-1}$在基$\alpha,\beta,\gamma$下的矩阵为
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
5 & 1 & 0 \\
3 & 5 & 1
\end{pmatrix}.
\]
提示：检查矩阵形状是否为3×3。
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