安徽师范大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
六，（20 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots \alpha_{s}$ 是线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $s$ 个解，其中 $b$ 是非零向量，证明：
（1）若常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots k_{s}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} k_{i} \alpha_{i}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} k_{i}=0$ ．
（2）若常数 $\displaystyle h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{s}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} h_{i} \alpha_{i}$ 是线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的解，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} h_{i}=1$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解已知条件
已知向量 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 是线性方程组 $Ax=b$ 的解，其中 $b$ 是非零向量。这意味着对每个 $i=1,\dots,s$，有 $A\alpha_i = b$。
公式：A\alpha_i = b
提示：注意 $b$ 是非零向量，这是后续推导的关键。
步骤 2/7
目标：证明第(1)问：左乘矩阵A
设常数 $k_1, k_2, \dots, k_s$ 满足 $\sum_{i=1}^s k_i \alpha_i = 0$。两边左乘矩阵 $A$，得到 $A\left(\sum_{i=1}^s k_i \alpha_i\right) = A0 = 0$。
公式：A\left(\sum_{i=1}^s k_i \alpha_i\right) = 0
提示：左乘矩阵时注意线性性。
步骤 3/7
目标：利用解的性质化简
由矩阵乘法的线性性，$A\left(\sum_{i=1}^s k_i \alpha_i\right) = \sum_{i=1}^s k_i A\alpha_i = \sum_{i=1}^s k_i b = \left(\sum_{i=1}^s k_i\right) b$。因此 $\left(\sum_{i=1}^s k_i\right) b = 0$。
公式：\sum_{i=1}^s k_i b = \left(\sum_{i=1}^s k_i\right) b
提示：注意 $b$ 是向量，提取公因子时系数是标量。
步骤 4/7
目标：由b非零推出系数和为零
因为 $b$ 是非零向量，所以 $\left(\sum_{i=1}^s k_i\right) b = 0$ 蕴含 $\sum_{i=1}^s k_i = 0$。证毕。
提示：向量乘以非零标量得零向量，则标量必为零。
步骤 5/7
目标：证明第(2)问：设解并左乘A
设常数 $h_1, h_2, \dots, h_s$ 使得 $\beta = \sum_{i=1}^s h_i \alpha_i$ 是 $Ax=b$ 的解，即 $A\beta = b$。计算 $A\beta = A\left(\sum_{i=1}^s h_i \alpha_i\right) = \sum_{i=1}^s h_i A\alpha_i = \sum_{i=1}^s h_i b = \left(\sum_{i=1}^s h_i\right) b$。
公式：A\beta = \left(\sum_{i=1}^s h_i\right) b
提示：与第(1)问类似，但这里结果是b而不是0。
步骤 6/7
目标：比较等式两边
由 $A\beta = b$ 和 $A\beta = \left(\sum_{i=1}^s h_i\right) b$，得 $\left(\sum_{i=1}^s h_i\right) b = b$，即 $\left(\sum_{i=1}^s h_i - 1\right) b = 0$。
公式：\left(\sum_{i=1}^s h_i - 1\right) b = 0
提示：移项时注意符号。
步骤 7/7
目标：由b非零推出系数和为1
因为 $b$ 是非零向量，所以 $\sum_{i=1}^s h_i - 1 = 0$，即 $\sum_{i=1}^s h_i = 1$。证毕。
提示：与第(1)问类似，利用b非零。
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