安徽师范大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
一，（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), g_{1}(x), g_{2}(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，$\displaystyle a \in P$ 满足 $\displaystyle f_{1}(a)=0, g_{2}(a) \neq 0$ ，且 $\displaystyle f_{1}(x) g_{1}(x)+f_{2}(x) g_{2}(x)=x-a$ 。证明：$\displaystyle \left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)=x-a$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：代入x=a到已知等式
由已知条件，$f_1(a)=0$，$g_2(a)\neq 0$，且 $f_1(x)g_1(x)+f_2(x)g_2(x)=x-a$。代入 $x=a$ 得 $f_1(a)g_1(a)+f_2(a)g_2(a)=0+f_2(a)g_2(a)=a-a=0$，所以 $f_2(a)g_2(a)=0$。
公式：f_1(a)g_1(a)+f_2(a)g_2(a)=a-a=0
提示：注意代入后等式右边为0，不要遗漏
步骤 2/7
目标：推出f_2(a)=0
由 $f_2(a)g_2(a)=0$ 且 $g_2(a)\neq 0$，可得 $f_2(a)=0$。因此 $x-a$ 是 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的根，即 $x-a$ 是它们的公因式。
公式：f_2(a)=0
提示：注意多项式在一点为零等价于该点是一次因式的根
步骤 3/7
目标：设最大公因式d(x)
设 $d(x)=\gcd(f_1(x), f_2(x))$，则 $d(x)$ 是首一多项式，且存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $d(x)=u(x)f_1(x)+v(x)f_2(x)$。
公式：d(x)=u(x)f_1(x)+v(x)f_2(x)
提示：最大公因式通常取首一多项式，注意存在性定理
步骤 4/7
目标：证明x-a整除d(x)
由 $x-a \mid f_1(x)$ 和 $x-a \mid f_2(x)$，而 $d(x)$ 是 $f_1, f_2$ 的最大公因式，故 $x-a$ 是 $f_1, f_2$ 的公因式，因此 $x-a \mid d(x)$。
提示：公因式必整除最大公因式
步骤 5/7
目标：证明d(x)整除x-a
由 $d(x) \mid f_1(x)$ 和 $d(x) \mid f_2(x)$，存在 $h_1(x), h_2(x)$ 使得 $f_1(x)=d(x)h_1(x)$, $f_2(x)=d(x)h_2(x)$。代入已知等式得 $d(x)[h_1(x)g_1(x)+h_2(x)g_2(x)]=x-a$，因此 $d(x) \mid (x-a)$。
公式：d(x)[h_1(x)g_1(x)+h_2(x)g_2(x)]=x-a
提示：注意整除关系：若d(x)整除左边，则整除右边
步骤 6/7
目标：由整除关系得出相等
由于 $x-a$ 是一次不可约多项式，且 $d(x)$ 是首一多项式，由 $x-a \mid d(x)$ 和 $d(x) \mid (x-a)$ 可得 $d(x)=x-a$。
提示：两个首一多项式互相整除则相等
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $\gcd(f_1(x), f_2(x))=x-a$，即 $(f_1(x), f_2(x))=x-a$。
提示：注意题目中括号表示最大公因式
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