📝 安徽师范大学 2018年高等代数真题

一，（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), g_{1}(x), g_{2}(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，$\displaystyle a \in P$ 满足 $\displaystyle f_{1}(a)=0, g_{2}(a) \neq 0$ ，且 $\displaystyle f_{1}(x) g_{1}(x)+f_{2}(x) g_{2}(x)=x-a$ 。证明：$\displaystyle \left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)=x-a$ ．

七，（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 为 $A$ 的转置矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。若 $\displaystyle E-A A^{T}$ 是可逆矩阵，证明：
（1）$\displaystyle E-A^{T} A$ 也是可逆矩阵；
（2）$\displaystyle A^{T}\left(E-A A^{T}\right)^{-1}=\left(E-A^{T} A\right)^{-1} A^{T}$ ．

三，（15 分）设 $\displaystyle a, b, c, d$ 是不全为零的实数，求出其次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}+d x_{4}=0 \\
b x_{1}-a x_{2}+d x_{3}-c x_{4}=0 \\
c x_{1}-d x_{2}-a x_{3}+b x_{4}=0 \\
d x_{1}+c x_{2}-b x_{3}-a x_{4}=0
\end{array}\right.
$$

的所有解．

九，（15 分）设 $J$ 为一个 $k$ 级若尔当块，$A$ 为 $n$ 阶复矩阵，$\displaystyle J^{T}$ 和 $\displaystyle A^{T}$ 分别为 $J$ 和 $A$的转置矩阵，证明：
（1）$\displaystyle J^{T}$ 和 $J$ 是相似的；
（2）存在 $n$ 阶可逆实对称矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=A^{T}$ ．

二，（15 分）设 $m$ 是正整数，$\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，$\displaystyle f(x)$ 的次数 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1 . a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}$ 为互不相同的整数，$\displaystyle s>2 m$ ，且 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)=1$ 或 $\displaystyle -1, i=1,2, \cdots, s$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $Q$ 上不可约．

五，（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$V$ 的线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，向量 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}, \eta_{2}=2 \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}, \eta_{3}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}$ ．
（1）证明：$\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \cdot \eta_{3}$ 也是 $V$ 的一组基；
（2）求线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} . \eta_{3}$ 下的矩阵；
（3）求矩阵 $\displaystyle A^{2018}$ ．

八，（20 分）设 $\displaystyle S, A$ 是 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle P=S+A, \alpha^{T}$ 是向量 $\displaystyle \alpha$ 的转置。证明：
（1）$A$ 为反对称矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=0$ ，对任意实的 $n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha$ 都成立。
（2）若 $S$ 是对称矩阵，$A$ 是反对称矩阵，则 $S$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha^{T} P \alpha>0$ ，对任意实的 $n$ 维非零列向量 $\displaystyle \alpha$ 都成立．

六，（20 分）设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和为 $\displaystyle 1, \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=-1$ 是 $A$ 的两个特征值，$E$ 为 3 阶单位矩阵，$\displaystyle B=A^{5}-4 A^{3}+E$ ．求
（1）$B$ 的全部特征值和特征向量；
（2）矩阵 $B$

四，（15 分）设 $A$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，证明：秩 $\displaystyle (A)<n$ 的充分必要条件是存在非零矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B A=0$ ．