安徽师范大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
九，（15 分）设 $J$ 为一个 $k$ 级若尔当块，$A$ 为 $n$ 阶复矩阵，$\displaystyle J^{T}$ 和 $\displaystyle A^{T}$ 分别为 $J$ 和 $A$的转置矩阵，证明：
（1）$\displaystyle J^{T}$ 和 $J$ 是相似的；
（2）存在 $n$ 阶可逆实对称矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=A^{T}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出若尔当块及其转置的形式
设 $J$ 为 $k$ 级若尔当块，形如
$$J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}.$$
则 $J^T$ 为
$$J^T = \begin{pmatrix} \lambda & & & \\ 1 & \lambda & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda \end{pmatrix}.$$
提示：注意若尔当块的上次对角元为1，转置后变为下次对角元为1。
步骤 2/6
目标：构造反单位矩阵并验证相似性
考虑反单位矩阵 $S = \begin{pmatrix} & & & 1 \\ & & \cdots & \\ & 1 & & \\ 1 & & & \end{pmatrix}$，即 $S_{ij} = \delta_{i+j, k+1}$。容易验证 $S^{-1} = S$，且
$$S^{-1} J S = S J S = J^T.$$
实际上，$SJ$ 将 $J$ 的行逆序排列，$SJ S$ 再将列逆序排列，得到 $J^T$。因此 $J^T$ 与 $J$ 相似。
公式：$S^{-1} J S = J^T$
提示：反单位矩阵是对称且自逆的，即 $S^T = S$ 且 $S^2 = I$。
步骤 3/6
目标：将A化为若尔当标准形
由于 $A$ 是复矩阵，存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1} A Q = \operatorname{diag}(J_1, \dots, J_r)$ 为若尔当标准形，其中每个 $J_i$ 是若尔当块。
公式：$Q^{-1} A Q = \operatorname{diag}(J_1, \dots, J_r)$
提示：若尔当标准形存在性依赖于特征多项式可分解，复数域上总是成立。
步骤 4/6
目标：对每个若尔当块构造对称矩阵
由（1）知，对每个若尔当块 $J_i$，存在可逆对称矩阵 $P_i$（如反单位矩阵）使得 $P_i^{-1} J_i P_i = J_i^T$。令 $P_0 = \operatorname{diag}(P_1, \dots, P_r)$，则 $P_0$ 是可逆对称矩阵，且
$$P_0^{-1} (Q^{-1} A Q) P_0 = (Q^{-1} A Q)^T = Q^T A^T (Q^{-1})^T.$$
公式：$P_0^{-1} (Q^{-1} A Q) P_0 = Q^T A^T (Q^{-1})^T$
提示：注意 $P_0$ 是分块对角矩阵，每个块对称，整体对称。
步骤 5/6
目标：推导出A^T的表达式
由上式可得
$$A^T = (Q^{-1})^T P_0^{-1} Q^{-1} A Q P_0 Q^T.$$
公式：$A^T = (Q^{-1})^T P_0^{-1} Q^{-1} A Q P_0 Q^T$
提示：注意矩阵乘积的顺序，转置运算满足 $(AB)^T = B^T A^T$。
步骤 6/6
目标：构造所需的对称矩阵P
令 $P = Q P_0 Q^T$，则 $P$ 是可逆实对称矩阵（因为 $Q$ 可逆，$P_0$ 对称，$P^T = Q P_0^T Q^T = Q P_0 Q^T = P$），且
$$P^{-1} A P = (Q P_0 Q^T)^{-1} A (Q P_0 Q^T) = (Q^{-1})^T P_0^{-1} Q^{-1} A Q P_0 Q^T = A^T.$$
因此存在这样的 $P$。
公式：$P = Q P_0 Q^T$
提示：验证 $P$ 的对称性：$P^T = (Q P_0 Q^T)^T = Q P_0^T Q^T = Q P_0 Q^T = P$。可逆性由 $Q$ 和 $P_0$ 可逆保证。
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