安徽师范大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
七，（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 为 $A$ 的转置矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。若 $\displaystyle E-A A^{T}$ 是可逆矩阵，证明：
（1）$\displaystyle E-A^{T} A$ 也是可逆矩阵；
（2）$\displaystyle A^{T}\left(E-A A^{T}\right)^{-1}=\left(E-A^{T} A\right)^{-1} A^{T}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明 (E - A^T A) 可逆：反证法假设不可逆
设 $B = E - AA^T$ 可逆。假设 $C = E - A^T A$ 不可逆，则存在非零向量 $x$ 使得 $Cx = 0$，即 $(E - A^T A)x = 0$，从而 $A^T A x = x$。
公式：$Cx = 0 \Rightarrow A^T A x = x$
提示：注意反证法的假设：$C$ 不可逆意味着存在非零向量使得 $Cx=0$。
步骤 2/6
目标：推导 $\|Ax\|^2 = \|x\|^2$
将 $A^T A x = x$ 两边左乘 $x^T$，得 $x^T A^T A x = x^T x$，即 $\|Ax\|^2 = \|x\|^2$。
公式：$x^T A^T A x = \|Ax\|^2$, $x^T x = \|x\|^2$
提示：注意 $x^T A^T A x = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|^2$。
步骤 3/6
目标：利用 $B$ 可逆导出矛盾
考虑 $B$ 作用于 $Ax$：$B(Ax) = (E - AA^T)Ax = Ax - A A^T A x = Ax - A x = 0$。由于 $B$ 可逆，必有 $Ax = 0$。代入 $\|Ax\|^2 = \|x\|^2$ 得 $\|x\|^2 = 0$，故 $x=0$，与 $x$ 非零矛盾。因此 $C$ 可逆。
公式：$B(Ax)=0 \Rightarrow Ax=0$
提示：注意 $B$ 可逆意味着 $B$ 的零空间只有零向量。
步骤 4/6
目标：证明等式 (2)：化简待证等式
要证 $A^T (E - AA^T)^{-1} = (E - A^T A)^{-1} A^T$，只需证 $(E - A^T A) A^T = A^T (E - AA^T)$，因为两边左乘 $(E - A^T A)^{-1}$、右乘 $(E - AA^T)^{-1}$ 即得结论。
公式：若 $P$ 可逆，则 $P^{-1} Q = R \Leftrightarrow Q = P R$
提示：注意矩阵乘法不交换，但这里两边同时左乘或右乘可逆矩阵是允许的。
步骤 5/6
目标：验证等式 $(E - A^T A) A^T = A^T (E - AA^T)$
计算左边：$(E - A^T A) A^T = A^T - A^T A A^T$。计算右边：$A^T (E - AA^T) = A^T - A^T A A^T$。两边相等，故等式成立。
公式：矩阵乘法分配律
提示：注意 $A^T A A^T$ 是三个矩阵相乘，顺序不能随意改变。
步骤 6/6
目标：完成证明
由 $(E - A^T A) A^T = A^T (E - AA^T)$，左乘 $(E - A^T A)^{-1}$，右乘 $(E - AA^T)^{-1}$，即得 $A^T (E - AA^T)^{-1} = (E - A^T A)^{-1} A^T$。
提示：注意左乘和右乘的顺序：左边乘 $(E - A^T A)^{-1}$，右边乘 $(E - AA^T)^{-1}$。
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