安徽师范大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
八，（20 分）设 $\displaystyle S, A$ 是 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle P=S+A, \alpha^{T}$ 是向量 $\displaystyle \alpha$ 的转置。证明：
（1）$A$ 为反对称矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=0$ ，对任意实的 $n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha$ 都成立。
（2）若 $S$ 是对称矩阵，$A$ 是反对称矩阵，则 $S$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha^{T} P \alpha>0$ ，对任意实的 $n$ 维非零列向量 $\displaystyle \alpha$ 都成立．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：必要性证明：若A反对称，则α^T A α=0
设$A$是反对称矩阵，即$A^T = -A$。对任意实$n$维列向量$\alpha$，有$\alpha^T A \alpha$是一个标量，因此其转置等于自身：$\alpha^T A \alpha = (\alpha^T A \alpha)^T = \alpha^T A^T \alpha = \alpha^T (-A) \alpha = -\alpha^T A \alpha$。移项得$2\alpha^T A \alpha = 0$，故$\alpha^T A \alpha = 0$。
公式：$\alpha^T A \alpha = (\alpha^T A \alpha)^T = \alpha^T A^T \alpha$
提示：注意标量的转置等于自身，这是证明的关键。
步骤 2/4
目标：充分性证明：若对任意α有α^T A α=0，则A反对称
取$\alpha = e_i + e_j$，其中$e_i$是第$i$个分量为1其余为0的单位向量。则$(e_i + e_j)^T A (e_i + e_j) = e_i^T A e_i + e_i^T A e_j + e_j^T A e_i + e_j^T A e_j = 0$。由条件，取$\alpha = e_i$得$e_i^T A e_i = 0$，同理$e_j^T A e_j = 0$，所以$e_i^T A e_j + e_j^T A e_i = 0$。而$e_i^T A e_j = a_{ij}$，$e_j^T A e_i = a_{ji}$，故$a_{ij} + a_{ji} = 0$，即$a_{ij} = -a_{ji}$对所有$i,j$成立，因此$A^T = -A$。
公式：$a_{ij} + a_{ji} = 0$
提示：选取特殊的向量$\alpha$（如单位向量的和）来推导元素关系。
步骤 3/4
目标：必要性证明：若S正定且A反对称，则α^T P α>0
设$S$正定，$A$反对称。对任意非零实$n$维列向量$\alpha$，有$\alpha^T P \alpha = \alpha^T (S+A) \alpha = \alpha^T S \alpha + \alpha^T A \alpha$。由(1)知$\alpha^T A \alpha = 0$，又$S$正定得$\alpha^T S \alpha > 0$，所以$\alpha^T P \alpha > 0$。
公式：$\alpha^T P \alpha = \alpha^T S \alpha + \alpha^T A \alpha$
提示：利用(1)的结论简化表达式。
步骤 4/4
目标：充分性证明：若对任意非零α有α^T P α>0，则S正定
设对任意非零实$n$维列向量$\alpha$，有$\alpha^T P \alpha > 0$。由于$P = S+A$且$A$反对称，由(1)知$\alpha^T A \alpha = 0$，所以$\alpha^T P \alpha = \alpha^T S \alpha > 0$。因此$S$正定。
公式：$\alpha^T P \alpha = \alpha^T S \alpha$
提示：注意正定矩阵的定义：对任意非零向量，二次型大于0。
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