安徽师范大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
四，（15 分）设 $A$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，证明：秩 $\displaystyle (A)<n$ 的充分必要条件是存在非零矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B A=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：必要性：利用秩的等价标准形构造矩阵B
设 $\operatorname{rank}(A) = r < n$。则存在可逆矩阵 $P \in P^{n \times n}$ 和 $Q \in P^{s \times s}$，使得 $PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。
公式：$PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆的，且 $r < n$ 保证右下角有零块。
步骤 2/6
目标：必要性：定义非零矩阵B0并验证乘积为零
令 $B_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} \in P^{n \times n}$，则 $B_0 \neq 0$ 且 $B_0 (PAQ) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$。
公式：$B_0 (PAQ) = 0$
提示：注意 $B_0$ 的右下角是 $n-r$ 阶单位矩阵，因为 $r < n$，所以 $n-r \geq 1$，$B_0$ 非零。
步骤 3/6
目标：必要性：通过变换得到所需的B
由 $B_0 P A Q = 0$，右乘 $Q^{-1}$ 得 $B_0 P A = 0$。令 $B = B_0 P$，则 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵，且 $B \neq 0$（因为 $B_0 \neq 0$ 且 $P$ 可逆），并且 $BA = B_0 P A = 0$。故存在非零矩阵 $B$ 使得 $BA=0$。
公式：$B = B_0 P$
提示：注意 $P$ 可逆，所以 $B_0 P$ 非零。
步骤 4/6
目标：充分性：将BA=0转化为线性方程组
设存在非零矩阵 $B \in P^{n \times n}$ 使得 $BA=0$。则 $B$ 的行向量都是齐次线性方程组 $x^T A = 0$ 的解（其中 $x$ 是列向量）。由于 $B \neq 0$，故 $B$ 至少有一行非零，从而方程组 $x^T A = 0$ 有非零解。
公式：$x^T A = 0$
提示：注意 $x^T A = 0$ 是行向量方程，$x$ 是列向量。
步骤 5/6
目标：充分性：利用解的存在性推出秩的条件
方程组 $x^T A = 0$ 有非零解，说明系数矩阵 $A^T$ 的秩小于 $n$，即 $\operatorname{rank}(A^T) < n$。而 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T)$，所以 $\operatorname{rank}(A) < n$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T)$
提示：注意矩阵的秩等于其转置的秩。
步骤 6/6
目标：总结充分必要性
综上，秩 $(A) < n$ 的充分必要条件是存在非零矩阵 $B$ 使得 $BA=0$。
提示：注意 $B$ 是 $n \times n$ 矩阵，且非零。
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