安徽师范大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
三，（15 分）设 $\displaystyle a, b, c, d$ 是不全为零的实数，求出其次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}+d x_{4}=0 \\
b x_{1}-a x_{2}+d x_{3}-c x_{4}=0 \\
c x_{1}-d x_{2}-a x_{3}+b x_{4}=0 \\
d x_{1}+c x_{2}-b x_{3}-a x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
的所有解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出系数矩阵
方程组可写成矩阵形式 $A\mathbf{x}=0$，其中系数矩阵
$$A = \begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
b & -a & d & -c \\
c & -d & -a & b \\
d & c & -b & -a
\end{pmatrix}.$$
提示：注意符号和位置，确保矩阵正确对应方程组。
步骤 2/6
目标：计算 $A^T A$
计算 $A$ 的转置与自身的乘积：
$$A^T A = \begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
b & -a & -d & c \\
c & d & -a & -b \\
d & -c & b & -a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
b & -a & d & -c \\
c & -d & -a & b \\
d & c & -b & -a
\end{pmatrix}.$$
提示：注意转置时行变列，符号变化。
步骤 3/6
目标：利用正交性简化计算
观察 $A$ 的列向量两两正交且长度相等。计算第一列与自身的点积：$a^2+b^2+c^2+d^2$；第一列与第二列点积：$ab - ba + cd - dc = 0$。类似可得所有不同列点积为零，每列与自身点积为 $a^2+b^2+c^2+d^2$。因此
$$A^T A = (a^2+b^2+c^2+d^2) I_4.$$
提示：利用对称性可快速验证，避免繁琐计算。
步骤 4/6
目标：判断系数矩阵的可逆性
由于 $a,b,c,d$ 不全为零，故 $a^2+b^2+c^2+d^2 > 0$，所以 $A^T A$ 是正数乘以单位矩阵，可逆。从而 $A$ 可逆（因为 $A^T A$ 可逆推出 $A$ 可逆）。
公式：$\det(A^T A) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4 \neq 0$
提示：注意：$A$ 可逆当且仅当 $A^T A$ 可逆。
步骤 5/6
目标：求解齐次线性方程组
因为 $A$ 可逆，齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$ 只有零解。即
$$\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4)^T = (0,0,0,0)^T.$$
提示：可逆矩阵对应的齐次方程组只有零解。
步骤 6/6
目标：总结所有解
因此，原方程组的所有解为
$$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 0.$$
提示：注意题目要求所有解，不要遗漏。
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