安徽师范大学 2018年高等代数第0题

五，（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$V$ 的线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，向量 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}, \eta_{2}=2 \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}, \eta_{3}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}$ ． （1）证明：$\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \cdot \eta_{3}$ 也是 $V$ 的一组基； （2）求线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} . \eta_{3}$ 下的矩阵； （3）求矩阵 $\displaystyle A^{2018}$ ．