安徽师范大学 2019年高等代数第0题

解特征方程 $\det(\lambda I - A) = 0$。对于 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$，有 $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-2 & -1 \\ 0 & \lambda-3 \end{pmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-3) = 0$，解得特征值 $\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 3$。

对每个特征值，解齐次线性方程组 $(\lambda_i I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$。 对于 $\lambda_1 = 2$：$(2I - A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，解 $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，得 $x_2 = 0$，$x_1$ 自由，取 $\mathbf{v}_1 = (1,0)^T$。 对于 $\lambda_2 = 3$：$(3I - A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，解 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，得 $x_1 = x_2$，取 $\mathbf{v}_2 = (1,1)^T$。

检查每个特征值的几何重数是否等于代数重数。这里两个特征值都是单根，代数重数为1，几何重数也为1（每个特征值对应一个线性无关特征向量），因此 $A$ 可对角化。

将所有特征向量按列排列成矩阵 $P$：$P = (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。由于特征向量线性无关，$P$ 可逆。

对角矩阵 $\Lambda$ 的对角元为对应的特征值，顺序与 $P$ 中特征向量列的顺序一致：$\Lambda = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。

计算 $P^{-1}AP$ 验证是否等于 $\Lambda$。先求 $P^{-1}$：$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。计算 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \Lambda$。