安徽师范大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
1、 $A$ 的特征值的实部一定是零；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定特征值与特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{x} \neq 0$，则 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。
公式：$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$
提示：确保特征向量非零，否则推导无意义。
步骤 2/6
目标：取共轭转置并利用反对称性
对等式 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ 两边取共轭转置，得 $\mathbf{x}^* A^* = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*$。由于 $A$ 是实反对称矩阵，$A^* = A^T = -A$，代入得 $-\mathbf{x}^* A = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*$。
公式：$A^* = A^T = -A$
提示：注意共轭转置的运算顺序，以及实矩阵的共轭转置等于转置。
步骤 3/6
目标：左乘特征向量得到第一个方程
将 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ 左乘 $\mathbf{x}^*$，得 $\mathbf{x}^* A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^* \mathbf{x}$。
公式：$\mathbf{x}^* A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^* \mathbf{x}$
提示：注意 $\mathbf{x}^* \mathbf{x}$ 是正实数，因为 $\mathbf{x} \neq 0$。
步骤 4/6
目标：右乘特征向量得到第二个方程
将 $-\mathbf{x}^* A = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*$ 右乘 $\mathbf{x}$，得 $-\mathbf{x}^* A \mathbf{x} = \bar{\lambda} \mathbf{x}^* \mathbf{x}$。
公式：$-\mathbf{x}^* A \mathbf{x} = \bar{\lambda} \mathbf{x}^* \mathbf{x}$
提示：注意右乘时 $\mathbf{x}^* A$ 是行向量，$\mathbf{x}$ 是列向量，结果是一个数。
步骤 5/6
目标：两式相加消去 $\mathbf{x}^* A \mathbf{x}$
将步骤3和步骤4的两个等式相加，得 $0 = (\lambda + \bar{\lambda}) \mathbf{x}^* \mathbf{x}$。由于 $\mathbf{x} \neq 0$，$\mathbf{x}^* \mathbf{x} > 0$，所以 $\lambda + \bar{\lambda} = 0$，即 $\operatorname{Re}(\lambda) = 0$。
公式：$\lambda + \bar{\lambda} = 2\operatorname{Re}(\lambda) = 0$
提示：注意 $\mathbf{x}^* \mathbf{x}$ 是正数，因此可以除以它得到 $\lambda + \bar{\lambda}=0$。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，反对称矩阵 $A$ 的特征值的实部为零。
提示：该结论对实反对称矩阵成立，对复反对称矩阵需额外考虑。
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