安徽师范大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
2、矩阵 $E-A^{2}$ 是正定矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解正定矩阵的定义
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $E - A^2$ 正定。根据正定矩阵的定义，对于任意非零列向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $x^T (E - A^2) x > 0$。展开得 $x^T x - x^T A^2 x > 0$，即 $\|x\|^2 > \|Ax\|^2$。
公式：x^T (E - A^2) x > 0
提示：注意正定矩阵要求对所有非零向量成立，且 $E$ 是单位矩阵。
步骤 2/4
目标：利用对称矩阵可对角化
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。则 $Q^T (E - A^2) Q = E - \Lambda^2 = \operatorname{diag}(1 - \lambda_1^2, \dots, 1 - \lambda_n^2)$。
公式：Q^T A Q = \Lambda
提示：实对称矩阵可正交对角化，且特征值为实数。
步骤 3/4
目标：正定性与特征值的关系
矩阵 $E - A^2$ 正定当且仅当它的所有特征值大于0。由于 $Q^T (E - A^2) Q$ 是对角矩阵，其特征值为 $1 - \lambda_i^2$。因此 $E - A^2$ 正定等价于 $1 - \lambda_i^2 > 0$ 对所有 $i$ 成立，即 $|\lambda_i| < 1$。
公式：1 - \lambda_i^2 > 0
提示：注意正定矩阵的特征值必须严格大于0，不能等于0。
步骤 4/4
目标：总结充要条件
因此，$E - A^2$ 是正定矩阵当且仅当 $A$ 的所有特征值的绝对值小于1。
提示：该条件与 $A$ 的谱半径小于1等价。
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