安徽师范大学 2019年高等代数第0题

题目要求求出线性映射 $f: V \to W$ 的值域 $f(V)$ 和核 $f^{-1}(0)$ 的维数及一组基。但题目未给出 $f$ 的具体表达式，因此无法直接计算。通常解法需要先明确 $V$ 和 $W$ 的基以及 $f$ 在基下的矩阵表示。

设 $V$ 的一组基为 $\{v_1, \dots, v_n\}$，$W$ 的一组基为 $\{w_1, \dots, w_m\}$。计算每个基向量的像 $f(v_i)$，并用 $W$ 的基线性表示：$f(v_i) = \sum_{j=1}^m a_{ji} w_j$，得到矩阵 $A = (a_{ji})$。

值域 $f(V)$ 由 $\{f(v_1), \dots, f(v_n)\}$ 张成。将这些像的坐标向量作为列构成矩阵 $A$，则 $f(V)$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩。对 $A$ 进行初等行变换，找出列向量组的极大线性无关组，对应的 $f(v_i)$ 即为 $f(V)$ 的一组基。

核 $\ker f = \{x \in V \mid f(x)=0\}$。设 $x = \sum_{i=1}^n x_i v_i$，则 $f(x) = \sum_{i=1}^n x_i f(v_i) = 0$。将 $f(v_i)$ 用坐标表示，得到齐次线性方程组 $A \mathbf{x} = 0$，其中 $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)^T$。解该方程组，基础解系中的解向量个数为 $\dim \ker f = n - \operatorname{rank}(A)$，每个解向量对应 $\ker f$ 中一个向量 $\sum x_i v_i$，这些向量构成 $\ker f$ 的一组基。

根据维数公式：$\dim V = \dim \ker f + \dim f(V)$。代入 $\dim V = n$，$\dim f(V) = \operatorname{rank}(A)$，$\dim \ker f = n - \operatorname{rank}(A)$，等式成立，可验证计算正确。

由于题目未给出具体映射，无法给出数值答案。上述步骤是通用解法，需根据实际 $f$ 的矩阵表示进行计算。请提供 $f$ 的具体表达式或矩阵。