安徽师范大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
2、判断 $V=f(V)+f^{-1}(0)$ 是否成立？并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题并符号化
设 $V$ 是域 $F$ 上的线性空间，$f: V \to V$ 是线性变换。我们需要判断 $V = f(V) + f^{-1}(0)$ 是否成立。其中 $f(V)$ 是 $f$ 的像，记作 $\operatorname{Im} f$；$f^{-1}(0)$ 是 $f$ 的核，记作 $\ker f$。因此问题等价于判断 $V = \operatorname{Im} f + \ker f$ 是否成立。
提示：注意 $f^{-1}(0)$ 是核，不是原像集；加法是子空间的和。
步骤 2/5
目标：分析子空间和的性质
对于任意 $v \in V$，考虑 $f(v) \in \operatorname{Im} f$。但 $v$ 不一定能表示为 $\operatorname{Im} f$ 中元素与 $\ker f$ 中元素的和。实际上，$\operatorname{Im} f + \ker f$ 是 $V$ 的子空间，但未必等于 $V$。由维数公式 $\dim V = \dim \operatorname{Im} f + \dim \ker f$，但 $\dim(\operatorname{Im} f + \ker f) = \dim \operatorname{Im} f + \dim \ker f - \dim(\operatorname{Im} f \cap \ker f)$。因此 $V = \operatorname{Im} f + \ker f$ 当且仅当 $\operatorname{Im} f \cap \ker f = \{0\}$。
公式：\dim(\operatorname{Im} f + \ker f) = \dim \operatorname{Im} f + \dim \ker f - \dim(\operatorname{Im} f \cap \ker f)
提示：注意子空间和的维数公式，不要忘记减去交的维数。
步骤 3/5
目标：构造反例说明不恒成立
考虑线性变换 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，定义为 $f(x,y) = (y,0)$。则 $\operatorname{Im} f = \{(y,0) \mid y \in \mathbb{R}\}$，$\ker f = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{R}\}$。于是 $\operatorname{Im} f \cap \ker f = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{R}\} \neq \{0\}$，且 $\operatorname{Im} f + \ker f = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{R}\} \neq \mathbb{R}^2$。因此 $V \neq \operatorname{Im} f + \ker f$。
提示：构造反例时，确保线性变换定义明确，并验证像和核。
步骤 4/5
目标：给出成立的条件
由上述分析，$V = \operatorname{Im} f + \ker f$ 成立当且仅当 $\operatorname{Im} f \cap \ker f = \{0\}$。此时 $\operatorname{Im} f + \ker f$ 是直和，且维数等于 $\dim V$。例如，投影变换 $f(x,y) = (x,0)$ 满足 $\operatorname{Im} f \cap \ker f = \{0\}$，故成立。
公式：V = \operatorname{Im} f \oplus \ker f \iff \operatorname{Im} f \cap \ker f = \{0\}
提示：注意直和的条件是交为零子空间。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，$V = f(V) + f^{-1}(0)$ 不一定成立，它成立当且仅当 $\operatorname{Im} f \cap \ker f = \{0\}$。一般情况下，该等式不恒成立，反例为 $f(x,y) = (y,0)$。
提示：不要误以为维数公式直接推出等式成立，因为交可能非零。
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