安徽师范大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为两个 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：$A$ 的行向量组与 $B$ 的行向量组等价的充分必要条件是线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：证明若行向量组等价则方程组同解
假设 $A$ 的行向量组与 $B$ 的行向量组等价，则存在矩阵 $P$ 和 $Q$ 使得 $B = PA$ 且 $A = QB$。若 $AX=0$，则 $BX = PAX = P \cdot 0 = 0$，故 $AX=0$ 的解是 $BX=0$ 的解。同理，若 $BX=0$，则 $AX = QBX = Q \cdot 0 = 0$，故 $BX=0$ 的解也是 $AX=0$ 的解。因此 $AX=0$ 与 $BX=0$ 同解。
公式：B = PA, A = QB
提示：注意线性表示的方向：行向量组等价意味着互相线性表示，因此存在两个矩阵分别表示对方。
步骤 2/5
目标：充分性：假设方程组同解，证明行向量组等价（第一步：秩相等）
设 $V_A$ 和 $V_B$ 分别为 $AX=0$ 和 $BX=0$ 的解空间。由假设 $V_A = V_B$，则解空间维数相等。而解空间维数等于 $n - \operatorname{rank}(A)$，故 $n - r_A = n - r_B$，即 $r_A = r_B$。
公式：\dim V_A = n - \operatorname{rank}(A)
提示：解空间维数公式：未知数个数减去系数矩阵的秩。
步骤 3/5
目标：充分性：证明A的行向量可由B的行向量线性表示
考虑 $A$ 的任意行向量 $\alpha_i$。由于 $V_A = V_B$，$\alpha_i$ 与 $V_A$ 正交（因为 $\alpha_i$ 是 $A$ 的行向量，$AX=0$ 的解与 $A$ 的行向量正交）。而 $V_A = V_B$，故 $\alpha_i$ 与 $V_B$ 正交。但 $B$ 的行向量组的正交补空间正是 $V_B$，因此 $\alpha_i$ 属于 $B$ 的行向量组的正交补空间的正交补，即 $B$ 的行空间。所以 $\alpha_i$ 可由 $B$ 的行向量线性表示。
公式：\text{行空间} = (\text{解空间})^\perp
提示：注意正交补的关系：行空间的正交补是解空间，解空间的正交补是行空间。
步骤 4/5
目标：充分性：证明B的行向量可由A的行向量线性表示
同理，对 $B$ 的任意行向量 $\beta_j$，由于 $V_B = V_A$，$\beta_j$ 与 $V_B$ 正交，从而与 $V_A$ 正交，故 $\beta_j$ 属于 $A$ 的行空间，即可由 $A$ 的行向量线性表示。
提示：对称性：只需将上一步中的A和B互换。
步骤 5/5
目标：总结结论
由上述两步，$A$ 的行向量组与 $B$ 的行向量组互相线性表示，因此等价。结合必要性，原命题得证。
提示：注意等价定义：互相线性表示。
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