安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
1、求正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出矩阵A并求特征值
给定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$。解特征方程 $|\lambda E - A| = 0$：
$$
\begin{vmatrix}
\lambda-2 & -2 & 2 \\
-2 & \lambda-5 & 4 \\
2 & 4 & \lambda-5
\end{vmatrix} = 0
$$
计算行列式：
$$
(\lambda-2)[(\lambda-5)^2 - 16] + 2[-2(\lambda-5) - 8] + 2[-8 - 2(\lambda-5)] = 0
$$
化简得 $(\lambda-1)^2(\lambda-10)=0$，特征值为 $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$（二重），$\lambda_3 = 10$。
公式：$|\lambda E - A| = 0$
提示：计算行列式时注意符号和展开，避免代数错误。
步骤 2/5
目标：求特征值1的特征向量
对于 $\lambda = 1$，解 $(E - A)x = 0$：
$$
\begin{pmatrix}
-1 & -2 & 2 \\
-2 & -4 & 4 \\
2 & 4 & -4
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
得 $x_1 = -2x_2 + 2x_3$，基础解系：$\alpha_1 = (-2,1,0)^T$，$\alpha_2 = (2,0,1)^T$。
公式：$(\lambda E - A)x = 0$
提示：注意行简化阶梯形时，确保自由变量选择正确。
步骤 3/5
目标：将特征向量正交化
使用施密特正交化方法：取 $\beta_1 = \alpha_1 = (-2,1,0)^T$，
$$
\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 = (2,0,1)^T - \frac{-4}{5}(-2,1,0)^T = \left(\frac{2}{5}, \frac{4}{5}, 1\right)^T
$$
单位化：$\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)^T$，$\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \left(\frac{2}{\sqrt{45}}, \frac{4}{\sqrt{45}}, \frac{5}{\sqrt{45}}\right)^T$。
公式：$\beta_i = \alpha_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{(\alpha_i,\beta_j)}{(\beta_j,\beta_j)} \beta_j$
提示：正交化时注意内积计算，分母是已正交向量的模平方。
步骤 4/5
目标：求特征值10的特征向量
对于 $\lambda = 10$，解 $(10E - A)x = 0$：
$$
\begin{pmatrix}
8 & -2 & 2 \\
-2 & 5 & 4 \\
2 & 4 & 5
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
得 $x_1 = \frac{1}{2}x_2$，$x_3 = -x_2$，取 $x_2=2$，得 $\alpha_3 = (1,2,-2)^T$。单位化：$\gamma_3 = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)^T$。
公式：$(\lambda E - A)x = 0$
提示：注意行简化时，确保系数矩阵正确，自由变量选取合理。
步骤 5/5
目标：构造正交矩阵P并验证
令 $P = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)$，则
$$
P = \begin{pmatrix}
-\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{45}} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{\sqrt{45}} & \frac{2}{3} \\
0 & \frac{5}{\sqrt{45}} & -\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
$$
且 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,1,10)$。
公式：$P^{-1}AP = \Lambda$
提示：验证P是否正交：检查列向量是否单位正交。
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