📝 安徽师范大学 2020年高等代数真题

1、 $\gamma_{0}, \beta_{1}=\gamma_{0}-\eta_{1}, \beta_{2}=\gamma_{0}-\eta_{2}, \cdots, \beta_{t}=\gamma_{0}-\eta_{t}$ 是线性方程组 $A X=\beta$ 的一组线性无关的解．

2、线性方程组 $A X=\beta$ 的任一解都可以表示为

$$
k_{0} \gamma_{0}+k_{1} \beta_{1}+k_{2} \beta_{2}+\cdots+k_{t} \beta_{t} \text {, 其中 } k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=1-k_{0} \text {. }
$$

1、若 $|A|=0$ ，则 $r\left(A^{*}\right) \leq 1$ ；

2、 $\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}$ 且 $\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ．

1、写出 $f$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵；

2、求出 $f$ 的值域 $f(V)$ 的维数及一组基；

3、判断 $f(V) \cup f^{-1}(0)$ 是否为 $V$ 的一个线性子空间？并说明理由．

1、求正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵；

2、求矩阵 $A$ 及行列式 $\left|\left(A+A^{*}-2 E\right)^{1010}\right|$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 为 3 阶单位阵．

1、 $B$ 是正定矩阵；

2、存在 $n$ 个线性无关的 $n$ 维行向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $B=\alpha_{1}^{T} \alpha_{1}+\alpha_{2}^{T} \alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}^{T} \alpha_{n}$ ，其中 $\alpha_{i}^{T}$ 表示 $\alpha_{i}$ 的转置，$i=1, \cdots, n$ ．

1、存在 $k$ 级幂零矩阵 $P$（即存在正整数 $s$ 使得 $P^{s}=0$ ）及对角矩阵 $U$ ，使得 $J=P+U$ ；

2、任一 $n$ 阶复方阵 $A$ 都可以分解成为 $A=B+C$ ，其中 $B$ 是幂零矩阵，$C$ 相似于对角矩阵，且 $B C=C B$ ．