安徽师范大学 2020年高等代数第0题

设 $V$ 是域 $F$ 上的线性空间，$f: V \to F$ 是线性函数。定义 $f(V) = \{ f(v) \mid v \in V \}$ 为 $f$ 的像集，它是 $F$ 的子集；$f^{-1}(0) = \{ v \in V \mid f(v)=0 \}$ 为 $f$ 的核，它是 $V$ 的子空间。考虑集合 $W = f(V) \cup f^{-1}(0)$。

线性子空间必须是 $V$ 的子集。但 $f(V) \subseteq F$，而 $f^{-1}(0) \subseteq V$。一般情况下，$F$ 和 $V$ 是不同的集合（除非 $V=F$），因此 $W$ 的元素既有标量又有向量，$W$ 不是 $V$ 的子集。例如，取 $V=\mathbb{R}^2$，$F=\mathbb{R}$，$f(x,y)=x$，则 $f(V)=\mathbb{R}$，$f^{-1}(0)=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}$，$W=\mathbb{R} \cup \{(0,y)\}$，其中标量 $1\in\mathbb{R}$ 不属于 $V$，故 $W \not\subseteq V$。

若 $V=F$，则 $f: F \to F$ 是线性函数，可写为 $f(x)=ax$，$a\in F$。此时 $f(V)=F$，$f^{-1}(0)=\{0\}$，故 $W=F \cup \{0\}=F$，而 $F$ 作为自身上的线性空间，$W=V$ 是子空间。但一般情况下 $V \neq F$，因此 $W$ 不是 $V$ 的子空间。

除非 $V=F$，否则 $f(V) \cup f^{-1}(0)$ 不是 $V$ 的子集，因此不是 $V$ 的线性子空间。在一般高等代数题目中，$V$ 是抽象线性空间，$F$ 是域，通常 $V \neq F$，故答案为否。