安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
1、若 $|A|=0$ ，则 $r\left(A^{*}\right) \leq 1$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回忆伴随矩阵性质
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。已知 $|A|=0$，即 $A$ 是奇异矩阵。由伴随矩阵的性质：$A A^* = A^* A = |A| I_n$，代入 $|A|=0$ 得 $A A^* = 0$ 和 $A^* A = 0$。
公式：A A^* = A^* A = |A| I_n
提示：注意伴随矩阵的定义：$A^*$ 的元素是 $A$ 的代数余子式的转置。
步骤 2/6
目标：建立秩的不等式
由 $A A^* = 0$ 知，$A^*$ 的列向量都是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解。因此，$A^*$ 的列空间包含于 $A$ 的零空间，即 $\operatorname{Col}(A^*) \subseteq \operatorname{Nul}(A)$。从而 $\operatorname{rank}(A^*) \leq \dim \operatorname{Nul}(A) = n - \operatorname{rank}(A)$。
公式：\operatorname{rank}(A^*) \leq n - \operatorname{rank}(A)
提示：注意零空间维数公式：$\dim \operatorname{Nul}(A) = n - \operatorname{rank}(A)$。
步骤 3/6
目标：分析秩的可能情况
由于 $|A|=0$，$\operatorname{rank}(A) \leq n-1$，故 $n - \operatorname{rank}(A) \geq 1$。但我们需要证明 $\operatorname{rank}(A^*) \leq 1$，因此需要进一步分析。
提示：注意 $\operatorname{rank}(A)$ 可能小于 $n-1$，此时不等式给出的上界大于1，需要更精细的论证。
步骤 4/6
目标：情况一：秩 ≤ n-2
若 $\operatorname{rank}(A) \leq n-2$，则 $A$ 的所有 $(n-1)$ 阶子式均为0，从而 $A^* = 0$，此时 $\operatorname{rank}(A^*) = 0 \leq 1$。
提示：伴随矩阵的元素是 $(n-1)$ 阶子式，当所有 $(n-1)$ 阶子式为0时，$A^*$ 为零矩阵。
步骤 5/6
目标：情况二：秩 = n-1
若 $\operatorname{rank}(A) = n-1$，则存在非零的 $(n-1)$ 阶子式，故 $A^* \neq 0$。由 $A A^* = 0$ 且 $\operatorname{rank}(A) = n-1$，知 $\operatorname{Nul}(A)$ 的维数为1，而 $A^*$ 的每一列都属于 $\operatorname{Nul}(A)$，因此 $A^*$ 的列向量都共线，即 $\operatorname{rank}(A^*) = 1$。
提示：注意：零空间维数为1意味着所有非零解向量成比例，因此 $A^*$ 的列向量线性相关，秩为1。
步骤 6/6
目标：综合结论
综合以上两种情况，总有 $\operatorname{rank}(A^*) \leq 1$。因此，若 $|A|=0$，则 $r(A^*) \leq 1$。
提示：证明的关键是分情况讨论，利用秩与零空间维数的关系。
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